平方數和與立方數和 (Sums of Squares and Sums of Cubes)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在高中數學的「數列與級數」單元中，有三個眾所周知的級數和公式：

$$\displaystyle 1+2+3+\mbox{…}+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=[\frac{1}{2}n(n+1)]^2$$

並且都必須用「數學歸納法」加以證明。於是，教師費盡唇舌的解釋「數學歸納法」以及賣力的證明，但是，對於尚未充分理解「數學歸納法」的學生而言，只能依樣畫葫蘆地按步驟表面操弄，並且記住公式，如此單一的學習方式似乎顯得徒勞無功。換句話說，教師使用「數學歸納法」在邏輯上嚴格證明等式恆成立，但是，證明本身能否激發學生多少數學思維？甚至在證明之前，學生對於題目本身的瞭解和體會究竟有多少？

例如：
$$1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=$$？
$$1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=$$？

這兩個級數和究竟如何得知的呢？ Continue reading →

算幾不等式 (Arithmetic and Geometric Mean Inequality of two positive numbers)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在高中數學的範疇中，「算幾不等式」是一個常用的基本不等式，在證明不等式的題目中，我們經常藉助它來論證命題。而國中的幾何變動量所討論的「等周長的矩形以正方形的面積為最大」，就蘊涵算幾不等式的幾何意義。

設矩形的長為\(a\)、寬為\(b\)，整理可得代數式：

設\(a,b\)為正實數，則\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，其中等號成立的充要條件為\(a=b\)。

\(\frac{a+b}{2}\)、\(\sqrt{ab}\) 分別稱為算術平均數（arithmetic mean）、幾何平均數（geometric mean），\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\) 簡稱為算幾不等式。不等式的證明相當有趣，因為其證明的方法靈活多樣化，底下介紹算幾不等式的一些證明方式： Continue reading →

極座標（Polar Coordinate）
國立屏東高級中學數學料楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

我們通常使用直角座標系統來標示平面上某一點的位置，其實，還有另一種描述位置的方法，更貼近我們日常的生活習慣。例如：「10點鐘方向500公尺處有海豚出現」、「目前颱風位於鵝鑾鼻東南方1600公里處」。這些用語的內涵，轉換成數學概念，正是「極坐標」系統，其表示法如下。 Continue reading →

複數的ｎ次方根（nth root of complex number）
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

根據代數基本定理與因式定理得知，$$n$$ 次方程式 $$x^n={a}$$ ($${a}$$是複數)恰有 $$n$$ 個複數根，這 $$n$$ 個根稱為 $${a}$$ 的 $$n$$ 次方根。現在，我們應用棣美弗定理求解此方程式。

假設複數 $$z$$ 是方程式 $$x^n={a}$$ 的根，即 $$z^n={a}$$。以極式表示：

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棣美弗定理 (De Moivre’s Theorem)
國立屏東高級中學 數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確，不靠量尺準繩就設計出圖樣？

這段話是英國詩人波普 (Alexander Pope) 在他的著作《人的讚禮》中，對棣美弗的數學能力表示敬意。棣美弗 (Abraham De Moivre, 1667-1754 ) 出生於法國香檳省維崔鎮的新教徒家庭，因為新舊教派的鬥爭而遭到拘禁兩年，隨後遷居英國，成為牛頓和哈雷的摯友，還獲選為英國皇家學會會員、柏林科學院士和法國科學院士。他於1718 年發表《機遇論》(The Doctrine of Chances) 一書，成為機率論的先驅。

著名的棣美弗定理：

$$({\cos\theta+i\sin\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}~~~,n\in{N}$$

是他在1707 年發現，1722 年正式發表，首度把複數納入三角函數中，求解一元 $$n$$ 次方程式。 Continue reading →

無理數(irrational number)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在討論有理數系如何擴展到實數系時，我們常說有理數雖然密集，但數線上仍然有許多無法用有理數型態 $$q/p$$ 表示的數（其中 $$p,q\in Z$$ 且 $$p\ne 0$$），這些「不是有理數」的數被稱做「無理數」，有理數連同無理數，才能圓滿地鋪滿整條數線，成為實數系。然而，對於「不是有理數的數」，也就是說，它不能寫成 $$q/p$$。從數學的定義上，當然足夠判斷何謂無理數。但對初學者來說，利用否定所描述的定義，其實並不直觀。也就是說，他無法知道無理數「是」什麼。這篇文章的目的，是嘗試從不同的面向給無理數一個說法。 Continue reading →

虛數的妙用(Usefulness of Imaginary Numbers)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/ 國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

談起「虛數」這個詞，只要學習過高中數學的人，不難聯想到$$\sqrt{-1}=i$$，相信也順便想起那段與 $$i$$ 奮鬥的時光。對許多人而言，將數系由自然數→整數→有理數→實數，逐步地擴展開來，還說得上道理。但對於複數，不僅數的很多性質不再適用(例如比較大小)，連描述複數系的結構，也得利用平面來對應。更重要的是，除了說明代數基本定理外，複數還能有什麼應用呢？ Continue reading →

虛數的起源 (上)(The Origin of Imaginary Number $$\sqrt{-1}$$)(I)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

高中課程對於虛數 $$i=\sqrt{-1}$$ 的介紹，常由方程式 $$x^2+1=0$$ 的根引入。然而，這樣的方式總會讓人感覺不對勁：國中時此一方程式可以視為沒有實根，而將它忽略，到了高中卻又刻意定義使用它。事實上，我們若回顧虛數的發展歷史時，就會發現虛數的出現與二次方程式沒有關連，而是三次方程式的緣故，使得數學家無法迴避根號內出現負數的情形。綜覽現有依照98課綱編寫的課本，開始有作者會交代虛數出現的緣起，但限於篇幅，總是顯得太過簡略。本文的目的，就是把虛數這段的發展，做一個比較完整的說明。 Continue reading →