機率空間（3）機率空間（Probability space-3. Probability space）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（2）機率的意義

摘要：機率空間是機率論的基礎，本篇從集合論出發，介紹Kolmogorov的現代公設觀點，並以此定義機率函數(probability function)，並條列出機率函數的一些性質。

眾所周知，數學中各領域的起源，通常都是始於解決實際的問題，此時不論專業或業餘，很多人都可參與探討。而後逐漸深入，就只有少數專業人士能理解其中的內涵了。

以幾何學為例，其發源是始於尼羅河氾濫後的測量問題。平面幾何學中的諸多美妙結果，兩千三百多年前，就已被歐幾里得(Euclid，約西元前375-300年)，收錄於其幾何原本(Elements)一書中。當年畢達哥拉斯(Pythagoras，約西元前580-500年)等著名數學家所探討的問題，不過是今日中學數學課程的內容。而一般人若翻閱大學數學系的幾何學教科書，可能不會感覺這是在講幾何的書。 Continue reading →

機率空間（2）機率的意義（Probability space-2. The meanings of probability）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（1）機率論的誕生

摘要：本篇從一個生雙胞胎的機率問題出發，說明機率一詞的三種不同解釋：古典機率、頻度機率、主觀機率，並提出許多例子，來釐清這些觀點。

著名的法國數學家及天文學家，有法國牛頓之稱的拉普拉斯(Pierre Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827)曾說『大部分生活中最重要的疑問，都只是機率的問題』。的確，處在此一隨機世界，隨機現象(random phenomenon)處處可見。很多觀測事先並不能預知結果，因此事件的成立與否(或說發生與否，正確與否)，往往並非只有是、否兩種選擇。還可以是“有可能是”(當然也就“有可能否”)。

而隨著科技日漸發達，對精確度的要求也隨之提高，不能只含混地說“有可能”，而要更明確地表示其可能性之大小。今日機率一詞可說到處出現，人們常想知道某事件發生的機率。雖人人對機率朗朗上口，但一般人是否真了解機率的意思呢？ Continue reading →

大數法則（5）強大數法則（Law of large numbers-5. Strong law of large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（4）弱大數法則

摘要：延續上一篇的「弱大數法則」，本文介紹相對於機率收斂更強的「強大數法則(strong law of large numbers)」，最後以一例說明兩種不同收斂方式的差別。

對於上一節事件 \(A\) 發生的相對頻率 \(f_n(A)=n(A)/n\)，我們想知道 \(n\rightarrow\infty\) 時，其極限行為。

直觀上，由弱大數法則，會認為：\((1)~~~\lim_{n\to \infty} f_n(A)=p\)

其中 \(p=P(A)\)。但我們知道此並不正確。因極限不見得要存在，且即使存在，也不見得是 \(p\)。

對 \(n\geq 1, f_n(A)\) 有時恆為 \(0\)，有時恆為 \(1\)。前者的極限為 \(0\)，後者的極限為 \(1\)。

我們最多可以問的是：是否對『幾乎所有』(almost all)回的觀測，\((1)\) 式皆成立？ Continue reading →

大數法則（4）弱大數法則（Law of large numbers-4. Weak law of large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（3）巨數法則

摘要：本文從「伯努力試驗(Bernoulli trial)」談起，說明「大數法則」的主要內涵，進而介紹「弱大數法則(weak law of large numbers)」，並釐清常見的誤解。

大數法則又稱大數率或平均法則(law of averages)。由於有大數法則，使得在不確定性(uncertainty)中，我們仍能掌握一些確定性(certainty)；在混亂(chaos)中，仍有其秩序(order)。大數法則是說：若一實驗（或觀測），能持續且重複地進行，則觀測值之平均，將任意接近期望的成果。比較正式一點的說，就是隨機所產生樣本之平均，當樣品數很大，將有很大的機率，接近母體之平均。

機率論早期的發展，常對某件事是否發生有興趣。如：投擲銅板是否出現正面？玩撲克牌得到 \(3\) 條等。換句話說，對只有兩個結果的觀測有興趣。以 \(X_i=1\)，表第 \(i\) 次觀測該事件發生，\(X_i=0\)，表第 \(i\) 次觀測該事件未發生。如此觀測到一串 \(0,1\) 的數列。 Continue reading →

大數法則（3）巨數法則（Law of large numbers-3. Law of truly large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（2）極限的定義

摘要：本文舉例說明何謂「巨數法則(law of truly large numbers)」，並強調其與「大數法則」之不同。

巨數法則，雖然英文名為 law of truly large numbers，但其實與 law of large numbers 並不太相干。在一般正規的機率論書籍中，不會提到此法則。它主要是出現在通俗性的文章中，有時也被稱為 law of large numbers。我們實在不願稱它為『真大數法則』，只好含混地稱它為巨數法則。在 Diaconis and Mosteller (1989) 一文中，對此法則給出如下定義：

With a large enough sample, any outrageous thing is likely to happen.
(當樣本數夠大，任何聳人聽聞的事，都可能發生)。

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大數法則（2）極限的定義（Law of large numbers-2. The definition of limit）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（1）數大便是美

摘要：在論及「大數法則」之前，必須先有「極限(limit)」的概念，這裡給出「極限」的定義，並說明其內涵。

懂點機率統計的人，常開口閉口大數法則。大數法則究竟是什麼？討論大數法則，無可避免的，會涉及極限。只是極限可不是一簡單的概念。但弄懂極限，是進入較高深數學的第一步。本節我們稍微介紹極限。 Continue reading →

大數法則（1）數大便是美（Law of large numbers-1. Everything becomes beautiful when amount is plenty）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

摘要：這是一系列關於「大數法則(law of large numbers)」文章的第一篇，這裡引用徐志摩「數大便是美」一文，說明自然界的隨機現象其實遵循著某些規律、法則。

徐志摩的散文，很多人中學時代都讀過，膾炙人口的作品實在不少。他的有些句子後來常被引用，〝數大便是美〞是其中之一。 Continue reading →

遞迴關係（八）（Recurrence relation-8）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（七）

摘要：延續上篇的幾個基本高維遞迴關係，本篇反過來以遞迴的角度來探討這些數列。

利用遞迴關係解決問題時，思考模式是動態與局部的  —  關心的是從一項到另一項之間的變化，即使根本不知道整體看來一般項公式是什麼。這篇文章中我們利用前文的二項式係數，$$\mathrm{Stirling}$$ 第一類、第二類數，來介紹一下遞迴的思考方式。 Continue reading →