- 數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives) 2014/08/25
數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師如〈數學敘述與邏輯量詞〉一文所述，一般數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：
(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。有了這四類敘述句之後，加上邏輯連詞「且」、「或」與「非」之後，便能造出新的敘述句。
一般而言，我們會以符號「\(\land\)」代表「且」的意思；以符號「\(\lor\)」代表「或」的意思。
其中，\(P\land Q\) 的意思是 \(P\) 與 \(Q\) 同時成立，\(P\land Q\) 也被稱為敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 的合取句(conjunctions)。必需滿足 \(P\) 與 \(Q\) 同時為真，敘述句 \(P\land Q\) 方為真。
例如(\(\pi\) 是實數)\(\land\)(\(2\) 是質數)此命題即為真，而(\(\pi\) 是有理數)\(\land\)(\(2\) 是質數)則為假。
- 交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts） 2014/08/24
交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師每到聖誕節時，許多人喜歡舉辦交換禮物活動，假設總共有 \(n\) 個人參與，規定每個人各自帶來一件禮物，收集所有人的禮物後，便將禮物貼上編號，每個人再從中隨機抽出一樣禮物帶回家。總有人幸運地抽中自己心儀的禮物，也似乎常會有人不幸地抽中自己所帶來的禮物，真的是這個人運氣不好嗎？再者，若參與的每個人都沒有抽中自己的禮物是正常的嗎？
首先，我們從簡單的情況開始討論起。
當 \(n=1\) 時，必定拿回自己的禮物，所以機率為 \(P(A_1)=1\)（不過，一般應該沒有人自己和自己交換禮物）。
當 \(n=2\) 時，假設有 \(A_1\) 與 \(A_2\) 兩個人，各拿出 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物。
這時，想像隨機將 \(G_1\) 與 \(G_2\) 兩個禮物排列，其中的第一個位置代表 \(A_1\) 的禮物、第二個位置代表 \(A_2\) 的禮物，則有 \(G_1G_2\) 和 \(G_2G_1\) 兩種可能性。
換句話說，要嘛兩個人都拿到對方帶來的禮物，要嘛拿回自己禮物，而且兩者機率相同，因此，有拿回自己禮物的機率為 \(P(A_1\cup A_2)=\frac{1}{2!}\)，其中 \(P(A_1\cup A_2)\) 指的是 \(A_1\) 或 \(A_2\) 拿回自己禮物的機率。 Continue reading →- 數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers) 2014/08/24
數學敘述與邏輯量詞 (Mathematical statements and quantifiers)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師高中數學課程中，介紹了什麼是數學敘述，以及「且」、「或」、「非」等邏輯連接詞。一般而言，數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：
(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。其它的數學敘述，只不過是上述四類形式中的敘述句，再利用「且」、「或」與「非」等邏輯連接詞，重新組合而成的新述句。 Continue reading →
- 矩陣列運算與基本矩陣 2014/08/23
矩陣列運算與基本矩陣
臺北市立和平高中黃俊瑋教師高中程程中，有關線性方程組與矩陣的相關單元裡，介紹了矩陣的三種基本的列運算：
- 第 \(i\) 列與第 \(j\) 列互換，以 \(R_{ij}\) 表示。
- 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\)，以 \(rR_i\) 表示。
- 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\) 加到第 \(j\) 列去，以 \(rR_i+R_j\) 表示。
本文中，將矩陣列運算與基本矩陣作一連結，並藉此探討利用增廣矩陣以及列運算來求乘法反矩陣的方法。
首先，我們考慮二階方陣以及 \(2\times k\)階矩陣。
設二階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\) Continue reading →
- 空間向量的外積及幾何意義 2014/08/23
空間向量的外積及幾何意義 ( The cross product and its geometric interpretation )
臺北市立和平高中黃俊瑋教師現今高二下有關空間向量的教材提到，若 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 為空間中的兩向量，則定義 \(\overrightarrow a\) 與 \(\overrightarrow b\) 兩向量之外積
\(\overrightarrow a\times \overrightarrow b=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\)。
另一方面，空間中 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 兩向量所張成的平行四邊形面積為：
\(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)
眼尖的讀者，不難發現 \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 之長恰為此平行四邊形之面積值，即 \(A = \left| {\overrightarrow a\times\overrightarrow b }\right|\)。 Continue reading →
- 和算裡的弧長之冪級數公式（二）（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ） 2014/08/22
和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。
建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。
換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。- 和算裡的弧長之冪級數公式（一）（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ） 2014/08/22
和算裡的弧長之冪級數公式（一）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師早在中國漢朝《九章算術》裡，便出現了圓面積及弓形面積公式，然而，後者所給的僅是近似公式。隨著中算書的傳入，江戶時期日本數學家們對於圓周率與弧長公式的研究，卻深感興趣。前者顯然受到中國的影響，後者卻是十足的和算產物。譬如說吧，十七世紀初期，今村知商的《豎亥錄》（1639）就提出了新的弧長公式（其中，我們以 \(R\) 表示圓之直徑、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧長）：
\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)
當然，這同樣也只是近似公式。若我們進一步考察和算早期發展過程所出現的弧長公式，多與
\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)
- 二項式定理的推廣（四）: 和算家的數學表（下） 2014/08/20
二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：
$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$
有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出
$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。
利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。 Continue reading →
- 交換禮物中的機率問題（The probability of exchanging gifts） 2014/08/24