遞迴關係（七）（Recurrence relation-7）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（六）

摘要：不同於前面幾篇，本篇文章介紹幾個基本的高維遞迴關係

目前為止介紹的都是單維的遞迴  — $$a_n$$ 只有一個足碼 $$n$$。但是在數學上，更高維的遞迴也很常見，事實上在高中數學就出現過了只是未強調遞迴的觀點。我們熟悉的巴斯卡三角形，就是一個二維遞迴。這篇文章介紹幾個基本的高維遞迴關係。 Continue reading →

遞迴關係（六）（Recurrence relation-6）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（五）

摘要：本篇介紹一個複雜的遞迴式「Logistic Map（邏輯映射）」，藉此讓讀者認識「混沌（Chaos）」領域。

之前介紹的幾個遞迴式，一般項或者都還能精確求出來（費波那契數，Catalan 數），或至少能知道個大概（Merge  Sort）。本文來介紹一個真正複雜的遞迴式，稱為「Logistic Map（邏輯映射）」—  不是形式複雜，而是結果複雜。這個遞迴式貌似和藹可親，卻非常難以分析和預測。事實上它根本無法求出一般項。

由此遞迴式，竟引出一整個新的數學分支，稱為「混沌（Chaos）」。 Continue reading →

遞迴關係（五）（Recurrence relation-5）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（四）

摘要：本篇探討正多邊形三角剖分的方法數，介紹數學上重要的「Catalan 數列」。

接著要介紹一個大數學家歐拉（Euler）考慮過的問題，關於正多邊形三角剖分的方法數。 Continue reading →

遞迴關係（四）（Recurrence relation-4）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（三）

摘要：本篇介紹電腦科學中的「合併排序法（merge sort）」，藉此呈現遞迴關係在電腦科學領域的應用。

接著要介紹電腦科學中非常根本的排序（sort），這個領域的理論發展完全立基於對遞迴式的分析。底下因篇幅關係只介紹「合併排序法（merge sort）」，希望藉此能使讀者一窺遞迴關係在電腦科學中所扮演的的根本角色。 Continue reading →

遞迴關係（三）（Recurrence relation-3）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（二）

摘要：接下來的文章將探討幾個高中教材未提及、但是重要的遞迴關係。本篇先介紹「費波那契（Fibonacci）數」。

從這篇文章開始我們介紹幾個高中課本沒有提，但是重要的遞迴關係。首先介紹費波那契數。希望讀者讀完後可以體會到，遞迴關係有時候比一般項更重要。 Continue reading →

遞迴關係（二）（recurrence-relation-2）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（一）

摘要：本篇介紹99課綱中提及的五個「一階遞迴公式」。

前面談到遞迴關係是指 $$a_{n}=F(a_{1},a_{2},…,a_{n-1})$$ 。一個簡單的情況是要決定目前這一項，只牽涉到前一項。即

$$a_{n}=F(a_{n-1})$$

這稱為「一階線性遞迴關係」。這一類遞迴式基本上是相對好處理的，正常的情況下一般項的解也能求得出來（當然也有不能算的）。這篇短文稍微介紹一下99課綱中特別提及的五個「一階遞迴公式」（足碼略有調整，但本質上是一樣的）。課綱提及這些遞迴式，不僅僅因為能算，而且也因為有根本的重要性。 Continue reading →

遞迴關係（一）（Recurrence relation-1）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授

摘要：這是一系列關於「遞迴關係」文章的第一篇，本篇先介紹遞迴的基本概念，並簡述它在科學發展上的重要性。

九九的數學課綱（100 學年度高一開始使用）和以往相比有相當大幅度的更動，一個結構性的調整的是排列組合放到高一來教了。因此現在（100 年）是奇妙的一年，高一和高二同時在教排列組合，這一點可能要經過許多年師生才能調適好。

新的課綱中的總架構中的數學II（高一下學期）處理和離散數學相關的部分，第一部份為數列與級數，當作整個數學 II 的預備知識。在此部分中，課綱中特別強調了遞迴的概念，茲節錄如下：

本章節作為有限數學的先備知識，主要是讓學生發現數列的規律性，歸納成公式，並用數學歸納法加以證明。核心的公式為一階線性遞迴關係。（中略）。級數部分包括基本的求和公式與 $$\Sigma$$ 符號的操作。

可看出遞迴的確是新課綱中強調的思想之一。 Continue reading →

正弦函數與週期性（Sine Function and Periodicity）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本文舉例說明日常生活中隱藏的正弦函數。

高中數學很大部分的課程是在學習基本函數圖形：高一的多項式函數、指數函數、對數函數，高二以後的三角函數… 。

不同的基本函數有不同的特性，多項式是最簡單的函數，曾有一首打油詩描述多項式的特色：「加減乘除都好算，曲線優美不間斷，多項式，讚！」用數學語言更精確的說明，「曲線優美」就是微分連續，「不間斷」是指其為連續函數，不過此特性並非那麼獨特，指對數或三角函數也都是「曲線優美不間斷」，多項式更重要的特色是運算簡單，所以我們很喜歡用多項式逼近其他函數；指數函數的特色是同樣時間間隔內成長倍數相同」；那麼，三角函數的特性是什麼呢？

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