對應原理（The Principle of Correspondence）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

對應原理

已知每班教室裡有 $$36$$ 張座位。現在老師進教室後，眼光一掃，發現沒有空位，每個位子上都作了一個人。請問有多少學生？這個問題有什麼好問的，答案就是 $$36$$。但是仔細一想，老師並沒有一個一個數學生不是嗎？怎麼知道就是 $$36$$ 個？當然原因是這樣：沒有空位，每個位子上都坐一個人，表示學生和座位一樣多。

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Fubini 原理
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

Fubini 原理
觀察以下的矩陣：

\(\displaystyle\left[\begin{array}{cccccc}1&6&0&4&1&1\\2&0&1&5&0&2\\0&0&7&0&3&3\\2&4&1&2&0&0\end{array}\right]\)

請問所有數字和一共多少？我們可以有系統一點，先求每一橫列的和，得到 \(13, 10, 13, 9\)，再把這四個和相加得到 \(13 +10 +13 +9 = 45\)。或者，先求每一直行的和，得到 \(5, 10, 9, 11, 4, 6\)，相加得到 \(5+10+9+11+4+6 = 45\)。換句話說，

\(\displaystyle\sum^4_{i=1}\sum^6_{j=1}{a_{ij}}=\sum^6_{j=1}\sum^4_{i=1}{a_{ij}}\)

以上的想法是非常容易的，但這就是 Fubini 原理。

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星球的距離（Distances of Heavenly Bodies）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

提到古典數學在天文方面的應用，就想到平面三角學、球面三角學、對數、內差法等，但會忘掉平面幾何學。其實在量測星球距離方面，古希臘人還真的讓平面幾何學變成為主要的工具。 Continue reading →

和差角公式（Trigonometric Identities）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

除了正餘弦定理外，和差角公式是三角學中最重要的定理。正弦函數的和角公式說

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$。

它有點複雜，但從幾何的觀點，它不過是說某個線段的分解組合。 Continue reading →

地球的形狀 (Shape of the Earth)
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

大家都知道，如果不要太計較，地球的形狀是個球。但牛頓說，認真計較的話，地球是個橢圓旋轉體，一個以地球赤道大圓一直徑為長軸，地球南北軸線為短軸的橢圓，以南北軸線為旋轉軸，旋轉而成的旋轉體。有人有不同的意見，認為赤道大圓的直徑比南北軸線要短，因此對南北軸線旋轉的結果，地球比較像檸檬，南北極較突出，赤道較內縮，而不像橘子──牛頓的主張。 Continue reading →

冰淇淋筒定理（Ice Cream Cone Theorem）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

古希臘人研究圓錐截痕，得到很多幾何性質，包括兩（斜）坐標長度之間的關係，點焦距與點準距成正比，切線性質，以及有心截痕兩點焦距之和（或差）為定長等。不過導出的過程非常複雜，很難讓人感受到結果之必然。再者，現代人學圓錐曲線用的是坐標方法，更難領會這些幾何性質的美妙。十九世紀初，兩位比利時數學家，提出冰淇淋筒定理，說明點焦距與點準距成正比，以及有心截痕兩點焦距之和（或差）為定長的性質，也不過是截痕很自然的幾何結果。 Continue reading →

大圓是球上的捷徑（Great Circles）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

地理課本說大圓是地球上的捷徑，這在了解地球上的幾何是很重要的。只具有高中數學的程度，有辦法證明這個事實嗎？

若 $$K$$、$$L$$ 為地球上兩點，假設在地球上聯結 $$K$$、$$L$$ 兩點的某一曲線，是這兩點之間的捷徑，我們可以做個合理的假設：這曲線會落在某一個平面上。有此假設，就可以證明此曲線是此平面與球面相交之大圓的一部分。
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畢氏定理的證明 (Proofs of the Pythagoras Theorem)
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

畢氏定理在平面幾何裡是非常重要的，證明它的方法很多，在此僅舉出幾個有代表性的。

西元前三世紀歐幾里得的《原本》，用的是面積等化的方法來證明畢氏定理。如圖一，正方形\(BCDE=2\triangle ABE\)（同底等高）\(=2\triangle MBC\)（全等形）\(=\)長方形\(BPQM\)（同底等高）同理，正方形\(ACFG=\)長方形\(APQN\)，兩式相加即得。

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