- 微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral） 2011/01/08
微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結：微積分初階—歷史發展的眼光（10）極限、無窮小量與連續函數
甲、微分
採用極限的論述法來定義導數就是：
【定義２】（導數定義的四部曲）
給一個函數 $$y=F(x)$$，我們按下列四個步驟操作：
- $$(\mathrm{i})$$ 分割：讓獨立變數 $$x$$ 變化 $$\Delta{x}$$ (可正也可負)
- $$(\mathrm{ii})$$ 求差：對應的應變數 $$y$$ 就變化 $$\Delta{y}\equiv\Delta{F(x)}\equiv{F(x+\Delta{x}-F(x)}$$
- $$(\mathrm{iii})$$ 求牛頓商：$$\Delta{y}/\Delta{x}$$
- $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$
如果這個極限值存在，就稱函數 $$F$$ 在 $$x$$ 點為可微分（differentiable）。記此極限值為 $$DF(x)$$ 或 $$\frac{dF(x)}{dx}$$ 或 $$F'(x)$$，並且稱為 $$F$$ 在 $$x$$ 點的導數（derivative）。如果函數 $$F$$ 在定義域的每一點都可微分，那麼我們就稱 $$F$$ 為一個可微分函數（a differentiable function）。導數的幾何意義就是「切線的斜率」。
【註】利用極限來計算導數，常見的變形有：
$$\displaystyle DF(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{u\to x}\frac{F(u)-F(x)}{u-x}$$
採用無窮小量的論述法來定義的導數就是：
【定義３】（導數的定義）
$$\displaystyle DF(x)=\frac{dF(x)}{dx}=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}$$
但在做實際計算時，要注意：先是 $$dx\neq{0}$$，然後又 $$dx=0$$ 的規則。
【例11】設 $$F(x)=x^2$$，求 $$DF(x)$$。
【解答】$$(\mathrm{i})$$ 無窮小量的論述法：
$$\displaystyle DF(x)=\frac{F(x+dx)-F(x)}{dx}=\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx=2x$$
或 $$dF(x)=F(x+dx)-F(x)=(x+dx)^2-x^2=2xdx+(dx)^2=2xdx$$
$$(18)$$上述的演算規則是：當一個有限量 $$DF(x)$$ 是由一個有限量 $$2x$$ 加上一個無窮小量 $$dx$$ 時，是加之不增的，故 $$2x+dx=2x$$，亦即 $$dx$$ 棄之可也。其次，當一個無窮小量 $$dF(x)$$ 是由一個無窮小量 $$2xdx$$ 加上一個更高階的無窮小量 $$(dx)^2$$ 時，後者棄之可也。
$$(\mathrm{ii})$$ 極限的論述法：
$$\begin{array}{ll}DF(x) &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\&\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x~~~~~~~~~(19)\end{array}$$
許多人無法接受無窮小量的論述法，而喜歡極限的論述法。其實，我們看出這兩種論述法是殊途同歸，而且比較 $$(18)$$ 與 $$(19)$$ 兩式就知每一步都有互相的對照。在禪宗裡，有「北漸南頓」之分，仿此我們就說：極限的論述法是「漸悟派」，透過極限操作以有涯逐無涯；無窮小量的論述法是「頓悟派」，直接飛躍到無涯彼岸，請出無窮小量，幫忙完成微分。
【例12】給一個單位正方形，在四個角上都截去相同的小正方形，將剩餘部份折成一個沒有蓋子的長方體容器。欲使其容積為最大，求截去小正方形的邊長。
【解答】假設截去小正方形的邊長為 $$x$$，則長方體容器的容積為
$$V(x)=x(1-2x)^2=4x^3-4x^2+x$$
微分（參見例4）得到
$$V'(x)=12x^2-8x+1$$
解方程式 $$V'(x)=12x^2-8x+1=0$$，即解 $$(2x-1)(6x-1)=0$$，得到
$$\displaystyle x=\frac{1}{2}$$ 或 $$\displaystyle x=\frac{1}{6}$$
其中 $$x=1/2$$ 不合，因為整個正方形都被截光。因此 $$x=\frac{1}{6}$$ 就是所求的答案。
【習題７】在半徑為 $$1$$ 的球面裡，內接一個正圓錐使其體積為最大。試求此正圓錐的底半徑與高。
乙、定積分
【定義4】（積分定義的四部曲）
給一個函數 $$y=f(x)$$，我們按下列四個步驟操作：
- $$(\mathrm{i})$$ 分割：$$a=x_1<x_2<x_3<\mbox{…}<x_{n+1}=b$$，記 $$\Delta{x_k}\equiv{x_{k+1}}-x_k$$，$$k=1,2,\mbox{…}n$$
- $$(\mathrm{ii})$$ 取樣：在每一小段中任取一點 $$\xi\in[x_k,x_{k+1}]$$，$$k=1,2,\mbox{…},n$$
- $$(\mathrm{iii})$$ 求近似和：$$\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，叫做 Riemann和
- $$(\mathrm{iv})$$ 取極限：$$\displaystyle \lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k$$，此地的極限是讓每一個 $$\Delta{x_k}\to{0}$$。
如果極限 $$\displaystyle\lim\sum_{k=1}^n f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)$$ 存在，且跟分割與樣本點的取法無關，則稱函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上為可積分（intergrable），記此極限值為 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$。
【註解】
- 微分的定義是：分割，求差，求牛頓商，取極限。積分的定義是：分割，取樣，求近似和，取極限。兩者同樣都是四個步驟。其實，此地的積分因為有上下限，所以應該叫做定積分（definite integral），以別於以後要介紹的不定積分（indefinite integral）。
- 定積分有時需要用不同的變數來表達：$${\int}_a^b{f(x)}dx={\int}_a^b{f(t)dt}={\int}_a^b{f(u)}du$$。因此積分的變數叫做啞變數（Dummy variable）。
- 面積的幾何解釋：若 $$f(x)\geq{0},\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 表示由函數 $$y=f(x)$$ 的圖形、$$x$$ 軸、直線 $$x=a$$，$$x=b$$ 所圍成領域的面積。一般情形，當 $$f(x)$$ 的值有正負時，$${\int}_a^b|f(x)|dx$$ 才是面積。
【定理６】若函數 $$y=f(x)$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，則定積分 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$ 存在。
參考文獻：
- 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
- 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
- Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
- Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc.1992.
- Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,2005.
- Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.1963
- 微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus） 2011/01/07
微積分初階－歷史發展的眼光（12）微積分學根本定理（First Course in Calculus－A Historical Approach 12. The Fundamental Theorem of Calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯微積分最重要且最核心的「微積分學根本定理」。求切線與求面積兩者表面上很不同，實則關係密切。
【定理7】（微積分學根本定理, the Fundamental Theorem of Calculus, FTC）
假設函數 $$f$$ 在閉區間 $$[a,b]$$ 上連續，那麼就有：
- $$(\mathrm{i})$$ 微分與積分的互逆性：令 $$G(x)={\int}_a^x{f(t)}dt$$，則 $$DG(x)=f(x),~~\forall{x}\in[a,b]$$
- $$(\mathrm{ii})$$ N-L公式：若 $$DF(x)=f(x),\forall{x}\in[a,b]$$，則 $${\int}_a^b{f(x)}dx=F(b)-F(a)$$ Continue reading →
- 微積分初階－歷史發展的眼光（13）一法二念二義一理（First Course in Calculus－A Historical Approach 13. One method and two concepts and Two definitions and One theorem） 2011/01/06
微積分初階－歷史發展的眼光（13）一法二念二義一理（First Course in Calculus－A Historical Approach 13. One method and two concepts and Two definitions and One theorem）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯總結本文所述，微積分的初階可以用一句標語來概括：
一法二念二義一理（$$1221$$，是一個廻文數）
進一步說明就是：一個方法，兩個概念，兩個定義，一個定理。 Continue reading →
- 仰角（Angle of Elevation） 2010/12/27
仰角（Angle of Elevation）
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯三角測量法中，眼睛往上看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為仰角，如圖一所示，而仰角的求法可以透過仰角器或天文仰角儀得到。
例如：圖二所示為臺灣地區的最高大樓－台北101，由距離台北101底 $$295$$ 公尺地上的一點，測得台北101的仰角是 $$60^\circ$$。求台北101的高度。（答案準確至最接近的整數。） Continue reading →
- 俯角（Angle of Depression） 2010/12/27
俯角（Angle of Depression）
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯三角測量法中，眼睛往下看目標物時，視線與水平線間的夾角稱為俯角，如圖一所示，而俯角的求法可以透過量角器得到。
- 波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉 2010/12/26
波利亞 (George Polya) 的〈教師十誡〉
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯波利亞曾為中學數學教師開辦進修班，他在了解到中學教師需要一個對日常教學直接有所助益的課程。在該課程中，他一再地強調他個人對教師日常工作的看法，最後歸納濃縮成十條規則，亦即他所謂的「十誡」：
１.對你所教授的科目有興趣。
２.瞭解你所教授的科目。
３.試著去“讀”學生的表情、瞭解他們的期許與困難；設身處地為學生著想，將自已當作學生。
４.明瞭學習的述徑：學習任何一件事的最佳途徑，就是親自獨立地去發現其中的奧祕。
５.不但要教授學生知識，而且要讓他們知道技巧、訣竅，學習正確的心態及有系統工作的習慣。
６.讓學生學習去猜測。
７.讓學生學習證明。
８.留意現在手邊的問題，從其中找尋一些可能對於以後解題有幫助的特徵－試著去揭露潛藏在目前具體情境中的普遍形式。
９.不要一次就洩露出所有的祕訣－在你告訴學生之前，讓他們去猜測－讓他們盡可能地自行去發現。
10.啟發問題；讓學生勇於發表，不要填鴨式地硬塞給學生。 Continue reading →- 數學家如何看待證明？ 2010/12/25
數學家如何看待證明？(How mathematicians perceive the status of proof?)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯
在《幾何學：歐幾里得及其進一步發展》(Geometry: Euclid and Beyond) 一書中，作者Robin Hartshorne在導論章第１節中，提問 “What exactly is a proof?” (p.10)，然後，提出他自己的答案 (pp. 10-13)，頗有啟發性，值得數學教師參考。
- 排容原理（四） 2010/12/25
排容原理 (Principle of Inclusion and Exclusion)（四）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯連結：排容原理（三）
這是一系列關於排容原理文章的第四篇(最後一篇)，談排容原理的抽象形式及其推廣。
在前三篇文章中鉅細靡遺證明了排容原理，也詳細說明了高中數學牽涉到排容原理的部分。這篇文章是本系列的最後一篇，談排容原理的抽象形式，並連接到Mobius 互反律。期能幫有企圖心的師生開個頭，一窺高中數學背後的廣大理論。 Continue reading →
- 仰角（Angle of Elevation） 2010/12/27
