奇函數與偶函數 (Odd Functions and Even Functions)
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文說明何謂「奇函數」與「偶函數」，以及其圖形之特性：奇函數圖形會對稱原點，而偶函數的圖形會對稱 軸。另外還簡要介紹奇函數與偶函數的一些性質。

何謂「奇函數」？對定義域內每個 \(x\)，函數 \(f(x)\) 恆有 \(f(-x)=-f(x)\) ，則稱 \(f(x)\) 為奇函數。

在多項式函數中，只要是奇數次的單項次函數如 \(f(x)=x\)、\(f(x)=x^3\)、\(f(x)=x^{2k-1}(k\in N)\) 統統都是奇函數。 Continue reading →

多項式函數圖形的平移（Translations of A Graph of A Polynomial Function）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要: 本文說明將多項式函數 \(f(x)\) 的圖形沿平行 \(x\) 軸方向移動 \(h\) 單位，沿平行 \(y\) 軸方向移動 \(k\) 單位，則新圖形是多項式函數 \(f(x-h)+k\) 的圖形。

國中數學中已學過二次函數 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的圖形是拋物線，並且可利用配方法將函數寫成 \(f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，得拋物線的頂點坐標為 \(V(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。

反過來，若給定二次項係數 \(a\) 及頂點坐標 \(V(x_0,y_0)\)，就可以立刻寫出符合條件的二次函數 \(f(x)=a(x-x_0)^2+y_0\)。例如二次函數 \(f(x)\) 的首項係數為 \(\frac{1}{2}\)，頂點坐標為 \((-1,2)\)，則 \(f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2=\frac{1}{2}x^2+x-\frac{3}{2}\)。 Continue reading →

布里格斯與歐拉求 $$\log2$$ 近似值的方法（Briggs’ and Euler’s Methods of Approximating $$\log 2$$）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文說明布里格斯（Briggs）與歐拉（Euler）求 $$\log 2$$ 近似值的方法。

布里格斯的方法

今日以 $$10$$ 為底的常用對數是布里格斯（Henry Briggs, 1561~1630）在讀完納皮爾（John Napier, 1550~1617）1614 年的《對數的奇妙準則》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio）後，向納皮爾提出的修正。布里格斯在其1624年發表的著作《對數算術》中，利用 $$2^n$$ 的位數來求 $$\log2$$ 的近似值。 Continue reading →

數學史與數學教學：以一元二次方程式為例 (History of Mathematics and Mathematics Teaching: A Case Study of quadratic equations)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文以一元二次方程式為例，探討數學史與數學教學。

如果被要求解出一元二次方程式 $$x^2+10x=39$$，常見的的作法是：

$$x^2+10x=39\Rightarrow x^2+10x-39=0\Rightarrow (x+13)(x-3)=0\Rightarrow x=-13,~3$$

一旦無法因式分解時，便是「公式解」派上場的時機。通常它是用「配方法」的作法推導出來

$$\begin{array}{ll}ax^2+bx+c=0&\Rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x)=-c\\&\Rightarrow a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\&\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

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巴斯卡三角形Ⅰ(Pascal Triangle  Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

高中數學談二項式定理 $$(a+b)^n=\sum\limits^n_{k=0}C^n_ka^kb^{n-k}=C^n_0a^nb^0+C^n_1a^{n-1}b^1+\cdots+C^n_na^0b^n$$ 時，引進巴斯卡三角形(Pascal’s Triangle)，這個三角形最常應用於算術中，所以，又稱為「算術三角形」，其形狀如樹直立，或稱為「樹形三角形」，在中國古代文本稱為「賈憲三角」或「楊輝三角」，¹許多數學史家早已注意到中西兩造在發現時的時間點先後，賈憲三角約比巴斯卡三角形早五百年以上，所以，筆者另闢蹊徑，將關注點放在各國數學文本所呈現的這些算術三角形的差異及後續中西數學史的發展脈絡。
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機率歷史 (The History of Probability)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

自古以來，對於不可預知的事情，人們總是充滿著好奇，並且在好奇心的驅使下，往往產生了一些或對或錯的法則。姑且不論其動機為何，這些法則卻可能因此開創另一領域或學科，機率論（theory of probability）的發展便是如此。

西方學者於 17 世紀開始對機率理論產生興趣，其理論背景最初只是為了處理如擲骰子、輪盤、撲克牌等遊戲的賭金分配問題。其中擲骰子早期流行於埃及、印度及東方民族，希臘人把擲骰子遊戲的發明，歸功於特洛伊城被圍困時的帕拉墨得斯，當時的人們都十分熱衷此遊戲。古羅馬人也不干示弱，克勞狄皇帝還親自撰寫有關擲骰子的文章。而在《摩軻婆羅多》這部有 3000 年的印度敘事詩中，紀錄了一位狂熱的擲骰子賭徒的不幸，他在輸光了一切之後，竟然拿自己的生命做賭注，真是令人惋惜的一段歷史。 Continue reading →

黃金比例Ⅱ(Golden RatioⅡ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

連結：黃金比例Ⅰ

摘要:本文接續黃金比例Ⅰ，介紹黃金比例與斐波那契數列的關係、黃金比例與連分數的關係、黃金比例學習單，最後，略論黃金比例的意義與重要性。

黃金比例與斐波那契數列的關係

斐波那契數列(Fibonacci sequence, 簡稱費氏數列)最早出現在《計算之書》，如圖八所示，該書出版於西元 1202年，它是中世紀數學的代表書籍，書中的題目內容來自當時歐洲人的生活模式， 「斐波那契數列」則位於第十二章的第七部分(第474頁)。 Continue reading →

黃金比例Ⅰ(Golden Ratio  Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文首先定義黃金比例，接著介紹黃金比例與 等腰三角形的關係、黃金比例與黃金矩形的關係、黃金比例與等角螺線的關係、黃金比例與金字塔的關係。

歐幾里得(Euclid, ca.300B.C.)的《幾何原本》(Elements)是一部劃時代的著作，它偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。 Continue reading →