平面上點到直線距離（二） (The distance from a point to a line in the plane Ⅱ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：平面上點到直線距離（一）

本文承〈平面上點到直線距離（一）〉，繼續提出三類平面上點到直線距離的解法以及相關討論與知識間的連結。

方法2：利用向量平行與垂直等關係

方法2-1：利用向量 \(PQ\) 與 \(L\) 之方向向量垂直。

利用直線 \(L:3x+4y=10\) 的參數式，
可假設 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 上的投影點 \(Q(2+4t,1-3t)\)，
因為 \(\overline{PQ}\) 垂直直線 \(L\)，所以 \(\overline{PQ}\) 為最短距離。
則向量 \(\vec{PQ}=(1-4t,-7+3t)\) 與 \(L:3x+4y=10\) 之方向向量 \(\vec{n}=(4,-3)\) 垂直。（如圖一所示）
因此，內積為 \(4(1 – 4t) + ( – 3)( – 7 + 3t) = 0\)，解之可得 \(t = 1\)，可得投影點為 \(Q(6,-2)\)，則 \(\overline{PQ}\) 之距離 \(5\) 即為所求。

評析：這個方法所需先備知識為《第三冊》第3章－直線的方向向量、直線參數式與內積。求距離過程中，亦順便可求出投影點。此方法可推廣至空間中求點到直線距離、投影點問題，亦可用於求空間中兩平行直線距離。

方法2-2：利用向量 \(PQ\) 與 \(L\) 之法向量平行。

利用直線 \(L:3x+4y=10\) 的參數式，
可假設 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 上的投影點 \(Q(2+4t,1-3t)\)，
則向量 \(\vec{PQ}=(1-4t,-7+3t)\) 與 \(L:3x+4y=10\) 之法向量 \(\vec{n}=(3,4)\) 平行，（如圖二所示）
利用分量成比例 \(\frac{{1 – 4t}}{{ – 7 + 3t}} = \frac{3}{4}\) 之關係，可得 \(4(1-4 t) = 3 (-7+3t)\)，
解之可得 \(t = 1\)，可得投影點為 \(Q(6,-2)\)，則 \(\overline{PQ}\) 之距離 \(5\) 即為所求。

評析：這個方法所需先備知識同樣為《第三冊》第3章－直線的法向量與直線參數式。求距離過程中，亦順便可求出投影點。此法與2-1之差別主要在於利用直線的方向向量與直線的法向量。

方法3：求 \(P\) 點到直線上動點距離之最小值。

方法3-1：利用配方法求 \(P\) 點到直線上動點距離之最小值。

利用直線 \(L:3x+4y=10\) 的參數式，可假設 \(L\) 上任一動點 \(Q(2 + 4t,1 – 3t)\)
則 \(P(3,-6)\) 與 \(Q(2 + 4t,1 – 3t)\) 之距離為：
\(\sqrt {{{(2 + 4t – 3)}^2} + {{(1 – 3t + 6)}^2}}=\sqrt {25{t^2} – 50t + 50}\le\sqrt {25{{{\rm{(}}t – {\rm{1)}}}^{\rm{2}}} + {\rm{2}}5}\le\sqrt {25}{\rm{=5}}\)
即當 \(t = 1\) 時，有最短距離 \(5\)，此時 \(t = 1\) 所得之點 \(Q(6,-2)\)，
即為 \(P(3,-6)\) 在直線 \(L:3x+4y=10\) 的投影點。（如圖三所示）

評析：這個方法所需先備知識為《第一冊》第二章－二次函數配方法求極值、《第三冊》第3章－直線參數式，以及平面上的兩點距離公式。求距離過程中，亦可順便求出投影點。此方法可推廣至空間中，求點到直線距離問題。

方法3-2：利用柯西不等式求 \(P\) 點到直線上動點距離之最小值。

設 \(Q(x,y)\) 為直線 \(L:3x+4y=10\) 上任一點，
則 \(P(3,-6)\) 與 \(Q(x,y)\) 之距離平方為 \(\overline {PQ}= {(x – 3)^2} + {(y + 6)^2}\)，
利用柯西不等式 \({(3x – 9 + 4y + 24)^2} \le [{(x – 3)^2} + {(y + 6)^2}({3^2} + {4^2})\)，
可得 \({25^2} \le {\overline {PQ} ^2} \cdot 25\)，即 \({\overline {PQ} ^2}\) 的最小值為 \(25\)，\(\overline{PQ}\) 的最小值為 \(5\)。
且知，當 \(\frac{{x – 3}}{{y + 6}} = \frac{3}{4}\) 時，產生最小值，解之得 \((x,y)=(6,-2)\) ，
即為 \(P(3,-6)\) 在直線 \(L:3x+4y=10\) 的投影點。（如圖三所示）

評析：這個方法所需先備知識為《第三冊》第3章－柯西不等式。求距離過程中，亦可順便求出投影點。此方法可推廣至空間中，求點到平面距離問題。

方法4：在直線上任取一點，再利用正射影。

方法4-1：利用在法向量上的正射影長

在直線 \(L:3x+4y=10\) 任上取一點 \(P'(2,1)\)，可得向量 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
\(\vec{P’P}=(1,-7)\) 在直線法向量 \(\vec{n}=(3,4)\) 上的正射影長即為所求。（如圖四所示）
依正射影公式可得正射影為 \(\frac{{(1, – 7) \cdot (3,4)}}{{25}}(3,4) = ( – 3, – 4)\)
則正射影長為 \(5\)，即為所求點 \(P(3,-6)\) 到直線 \(L\) 的距離。

評析：這個方法所需先備知識為《第三冊》第3章－直線法向量、正射影公式。可推廣至空間中，求點到平面距離問題。

方法4-2：利用在方向向量上的正射影長

在直線 \(L:3x+4y=10\) 任上取一點 \(P'(2,1)\)，可得向量 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
在直線方向向量 \(\vec{L}=(4,-3)\) 上的正射影長為：\(\vec{P’Q}=\frac{{(1, – 7) \cdot (4, – 3)}}{{25}}(4, – 3) = (4, – 3)\)
利用勾股定理 \({\overline {PP’}^2}= {\overline {P’Q} ^2} + {\overline {PQ} ^2}\)，可求得點 \(P(3,-6)\) 到直線 \(L\) 的距離為\(5\)。
（如圖五所示）

評析：這個方法所需先備知識為《第三冊》第3章－直線方向向量、正射影公式以及國中學過的勾股定理。不過，方法4-2顯然較為簡捷。

以上為三類平面上點到直線距離的解法，接下來的〈平面上點到直線距離(三)〉繼續討論另外三類解法，以及相關知識間的連結。

連結：平面上點到直線距離（三）

平面上點到直線距離（一） (The distance from a point to a line in the plane Ⅰ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

求平面上一點 \(P(x_0,y_0)\) 點到直線 \(L:ax+by+c=0\) 距離問題，是高中課程中重要而基本的問題，此問題出現在平面向量單元裡，課程中並且提供了公式解：

\(\displaystyle d(P,L)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

而這個公式 除了可用以推導出平面上兩平行直線之距雄公式之外，亦可推廣至空間中，求一點 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 點到平面 \(E:ax+by+cz=0\) 距離問題。

儘管「代公式」的方式簡便而快速，但事實上，除了公式解之外，尚存在許多不同的解法，這些解法分屬於高中坐標幾何、向量幾何與三角學等課程範疇，若不考慮各解法背後的邏輯關係，在學完相關單元後，可以由此問題出發，進行一題多解，將坐標幾何、向量幾何相關單元中的重要概念，作一連結，而當中的許多方法與想法，亦可進一步用於空間中點、線、面相關距離問題。以下，我們以實際問題為例，在本文以及〈平面上點到直線距離(二)〉、〈平面上點到直線距離(三)〉等文裡，提供公式解之外，共七大類，近20種解法，除了討論各類解法所涉先備知識，以及這些方法與空間中相關問題之間的連結。 Continue reading →

集合的元素個數：有限與無限 The cardinal number of a set：From finite to infinite
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

高中課程第二冊裡，介紹了集合相關的基本概念，接著討論了計數有關的加法原理、乘法原理、一一對應原理以及取捨原理等。同時，無論該冊第二章的排列、組合單元或者第三章涉及古典機率、條件機率之計算，皆與集合元素個數的計算有關。說穿了排列組合這門學問，便是討論如何「有系統地」數數、或有系統地計算出集合的元素個數。

不過，在高中的範疇裡，僅限於有限集合的討論，同時也提到，當兩個有限集合的元素之間存在一一對應的關係時，易知這兩個集合的元素個數相等。例如：現有 \(A={1,2,3}\) 與 \(B={a,b,c}\) 兩個集合，我們發現 \(1\leftrightarrow a\)、\(2\leftrightarrow b\) 且 \(3\leftrightarrow c\)；亦即，兩個集合的元素可以作一配對，不會重複，且兩邊也都沒有剩下的元素，因此這兩個集合之元素個數相等。教材中，稱其為一一對應原理。當集合元素個數少時，我們易於點算或計數，看不出此原理之大用。然而當計算某集合的元素個數不易時，我們可以尋找另一熟悉的新集合，使得兩集合之元素具有一一對應關係。如此，透過計算新集合的元素個數，求得原集合的元素個數。 Continue reading →

重複組合（二）：公式的一個直觀解釋
Combination with repetition (II)：An intuitional explanation of the formula
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：重複組合（一）：相關課程之統整與反思 

在〈重複組合（一）：相關課程之統整與反思〉一文裡，簡單統整了重複組合相關概念與連結。

一般而言，重複組合問題可利用一一對應原理，轉化成 \(x_1+x_2+\cdots+x_n=k\) 類方程式求非負整數解個數問題，再進一步轉化得其解的數量為 \(C_k^{k+n-1}\)。而各類計數問題，只要轉化成上述方程式求非負整教解問題，便可依此組合公式求解。

以具體的例子來看，從 \(3\) 類物（每類物超過 \(5\) 個）可重複地選出 \(5\) 個的組合數，等於方程式 \(x+y+z=5\) 的非負整數解個數，可轉化成 \(5\) 個○與 \(2\) 個分隔記號|的排列數，再換成組合數，如此可知非負整數解之數為 \(C_3^{5+(3-1)}\)。

這裡筆者分享另一個想法：我們可將分隔記號「|」改以加號「＋」代替，這時 的一組解可對應到「○○○○○＋＋」的一種排法，例如：「○○＋○○＋○」\(\leftrightarrow(2,2,1)\)；「○＋＋○○○○」\(\leftrightarrow(1,0,4)\)，其中，將球區分成 \(3\) 區同樣需要兩個＋號，同時，加號可有助於直觀地與「\(3\) 個變數加起來為 \(5\)」，以及「\(3\) 類球○加起來共選 \(5\) 個」作連結。

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重複組合（一）：相關課程之統整與反思
Combination with repetition (I)：Integration and reflection of related curriculum
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

現今課程綱要的排列組合單元裡，重複組合是較困難的概念。特別是多次利用一一對應原理，將求原問題的組合數，轉換成求方程式的非負整數解個數，最後再轉換成組合公式計算出其數。雖然可得公式，但此組合公式與原情境的直觀連結不易。因此，本文的第一部份，先簡單回顧統整重複組合相關概念與問題。第二部份，則對重複組合的公式提出另一直觀的解釋。

首先，從甲、乙、丙、丁、戊共 \(5\) 件相異物（或 \(5\) 個人）中任選三物（或 \(3\) 個人），這是一般的組合問題，其方法數為 \(C_3^5\)。其中的每物或每人選可被選中一次，例如：「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等皆為可能的情況。而所謂的重複組合問題，即是每物或每人皆可重複地被選取，換句話說，可能選出的人選為「甲甲乙」或者「丁丁丁」等情況，當然也包含了上述「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等三種情況。不難看出，放寬到可重複選取的情況時，可能的組合數明顯變多了。而一般組合與重複組合最大的差異，在於被選的對象是否可重複地被選取。 Continue reading →

 從數學建模觀點看最「適配」直線(二)
（The best fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

連結：從數學建模觀點看最「適配」直線(一) 

當我們觀察某組二維數據之散佈圖後，若發現這兩變數間呈現出正比趨勢，或具高度的直線相關時，自然會聯想到利用直線 \(y=\beta_0+\beta_1x\) 模型來適配這組二維數據。

假設這條理想的直線為 \(y=\beta_0+\beta_1x\)，數學上一般會利用最小平方法（least squares method）來探求此理想直線的參數 \(\beta_0\) 與 \(\beta_1\)。統計學裡，將每一筆資料 \((x_i,y_i)\) 的觀察值 \(y_i\) 與此直線的垂直差距稱為「殘差（residual）」，當然殘差平方越小，表示該筆資料與最佳直線的垂直距離也越小，即越接近該直線。

因此，直觀上我們不難想像，當一條直線能使得所有資料的殘差平方和越小，則此直線越「適配」這組資料，亦即適配度越佳（goodness of fit）。而所謂的最小平方法，本質上即是使得所有殘差之平方和最小時，所得之直線，此直線即為一般所謂的迴歸直線、最小平方直線或也被稱為最適配直線、最佳直線等。例如圖一當中的紅色直線即為這些數據的最適配直線，而藍色線段所示即當中某些資料 \(y_i\)的殘差。  Continue reading →

從數學建模觀點看最「適配」直線(一)
（The best-fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

二千年前，天文學家托勒密 (Ptolemy, c.90-c.168) 的地心說，以地球為中心建立了太陽依圓形軌道繞地球運轉的天體運動模型，更一般性地，他在《天文學大成》（Almagest）一書中闡述了天體的運動軌跡為大圓的數學模型。

到了十六世紀天文學家哥白尼 (Copernicus, 1473-1543) 則改成以太陽為中心，地以圓形軌道繞日運行，大大簡化了模型的複雜度（將托勒密理論中的均輪和周轉圓，從原本的77個化減化34個）。

再到十七世紀克卜勒 (Kepler, 1571-1630) 除了接受哥白尼的日心說之外，依據其老師弟谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 的大量觀測數據，進一步建立了地球以橢圓形軌道繞太陽運行的天體運動定律，而這樣的數學模型更為「簡潔」而且「漂亮」。上述大家耳熟能詳的例子，都是現實生活與天文學研究中的數學建模實例。 Continue reading →

邏輯連詞「非」與笛摩根定律(The quantifier “not” and De Morgan’s laws)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

〈數學述句與邏輯連詞〉一文中，介紹了數學敘述與重要的邏輯連詞「且」、「或」與「非」。其中的「非」具是否定的意思，其宣告某個特定的敘述句為假。當「且」、「或」與「非」這三個邏輯連詞進一步混合使用時，會擦出什麼樣的火花呢？

更具體而言，複合敘述 \(P\land Q\) 與 \(P\lor Q\) 的否定敘述又是什麼意思呢？

例如下列敘述句  (3是奇數)\(\land\)(2是質數) 的否定敘述為何意呢？

(3是奇數)\(\land\)(2是質數)代表的是「3是奇數」與「2是質數」需同時成立，
因此，只要兩者之中有一項不成立，或兩者都不成立，即否定了原敘述。
如此來，無論「(3不是奇數)\(\land\)(2是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」
以及「(3不是奇數)\(\land\)(2不是質數)」都否定了原敘述「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」；
換言之，「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」的否定敘述「非(3是奇數\(\land\)2不是質數)」
包含了「非(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」、「(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」
以及「非(3是奇數)\(\land\)非(2不是質數)」等情形。
因此，非「(3是奇數)\(\land\)(2不是質數)」之意等同於「非(3是奇數)\(\lor\)非(2不是質數)」之意。
一般而言，我們可以證明 \(\neg(P\land Q)\) 等價於 \(\neg P\lor \neg Q\)。 Continue reading →