- 機率法則 (Principle of Probability) (一) 2014/01/19
機率法則 (Principle of Probability) (一)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師由拉普拉斯古典機率定義 $$P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}$$，我們推得下列的基本法則：
若 $$A$$、$$B$$為兩事件，則
- $$0 \le P(A \cap B) \le P(A)$$，$$0 \le P(A \cap B) \le P(B)$$ 。
- $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$。
- 當 $$A$$ 與 $$B$$ 為獨立事件時，$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$；
當 $$A$$ 與 $$B$$ 為互斥事件時，$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$。 Continue reading → - 牛頓法 ( Newton’s Method ) 2014/01/18
牛頓法 ( Newton’s Method )
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師在2008年上映的美國電影《決勝21點》中，教授米奇 (Mickey Rosa) 請同學們解釋「牛頓法」及其應用，此時班 ( Ben Campbell ) 卻語出驚人說：「牛頓剽竊了拉福生的方法。」
站在巨人肩上的牛頓是剽竊者？這是真的嗎？
所謂的「牛頓法」( Newton’s Method ) 是指求解方程式 \(f(x)=0\) 的根之疊代法 (Iterative Method)，又稱為「牛頓–拉福生演算法」( Newton-Raphson Algorithm)。 Continue reading →
- 轉移矩陣的穩定狀態與Google搜尋引擎 2014/01/18
轉移矩陣的穩定狀態與Google搜尋引擎 (The Stationary of a Transition Matrix, and Google Search)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
若 \(n\) 階方陣 \(M = {\left[ {{a_{i{\kern 1pt} j}}} \right]_{\;n \times n}}\) 滿足：
(1) 每個 \(a_{ij}\) 都滿足 \(0\leq a_{ij}\leq 1\) ；
(2) 每行的各元之和為1。
我們就稱 \(M\) 為「 \(n\) 階轉移矩陣」，簡稱為「轉移矩陣」。
多找幾個轉移矩陣來試試，就會發現有些矩陣不管初始狀態 \(X_0\) 為何，隨著 \(n\) 越來越大，
\(M^nX\) 就會越來越趨近於某個 \(X\)。 Continue reading →
- 轉移矩陣（Transition Matrix） 2014/01/16
轉移矩陣（Transition Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師「轉移矩陣」的概念是由俄國數學家馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在20世紀初時所提出，今日不管是在科學界、工程界還是商業界，都有很廣泛的應用，因此，我們又將「轉移矩陣」稱為「馬可夫矩陣」。讓我們從一個實際例子來了解什麼是「轉移矩陣」。
假設今天在郊區有個住宅區，居民每天可任意選擇自行開車上班，或搭乘大眾運輸工具上班。長期觀察此區的居民，發現當天開車上班的人中，有 \(\frac{4}{5}\) 的人隔天會繼續開車，另外的 \(\frac{1}{5}\) 會改搭大眾運輸工具；而當天搭乘大眾運輸工具的人中，有 \(\frac{2}{5}\) 的人隔天會繼續搭乘，但有 \(\frac{3}{5}\) 的人會改為自行開車。倘若我們是當地的交通主管官員，當看到這樣子的數據時，我們可以做出何種預測呢？預測正確，我們所做的決策才不會有問題。 Continue reading →
- 馬可夫生平簡介(2)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 2） 2014/01/13
馬可夫生平簡介(2)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 2）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師連結：馬可夫生平簡介(1)
1905 年馬可夫退休後，他持續機率理論的研究，並開始專注在後來被稱為「馬可夫鏈 (Markov chain)」的問題上。當時馬可夫努力想要建立適用於一般情況下的機率極限法則，並同時推展某些理論的應用。
1906 年，馬可夫提交一篇論文〈大數法則在相依變數上的推廣〉(The Extension of the Law of Large Numbers on Mutually Dependent Variables)，後人所稱的「馬可夫鏈」或是「馬可夫矩陣」，就是首次出現在這篇論文之中。此後，馬可夫陸續發表幾篇有關這主題的論文，不但得到各種一般化的結果，也導出在某些條件限制之下，中央極限定理是成立的。 Continue reading →
- 馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1） 2014/01/13
馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在高中時就展露數學上的天賦與興趣，寫了他生平第一篇數學論文。雖然這篇論文並不是新的創見，但已經深深吸引到兩位聖彼得堡大學的數學教授科爾金 (Aleksandr Korkin, 1837~1908)與佐洛塔瑞夫 (Yegor Ivanovich Zolotarev, 1847~1878)的目光，後來馬可夫不僅進入聖彼得堡大學就讀 (1874年)，還參加了這兩位教授專為優秀學生開設的研討班。 Continue reading →
- 可逆矩陣（Invertible Matrix） 2014/01/12
可逆矩陣（Invertible Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師連結：矩陣乘法的限制及性質
在了解何謂矩陣、矩陣的基本運算及乘法的限制後，我們知道矩陣並沒有消去律，也就是當 \(AB=AC\)（或 \(BA=CA\)）時，\(B=C\) 不一定成立（註1）。
沒有消去律在運算上是一件很不方便的事，當有了 \(AB=AC\) 卻得不到 \(B=C\)，就好比兩個人從山的兩側挖隧道，預計在中點處貫通，當兩個人都挖了相同的距離之後，竟發現隧道不一定會相通，那接下來麻煩可就大了！
所以，很自然地，我們就會想知道怎麼樣才能保證隧道會貫通，也就是說在哪些情況下，\(AB=AC\) 兩邊的 \(A\) 是可以消去的？ Continue reading →
- 從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization） 2014/01/11
從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師特徵值與特徵向量
在〈矩陣乘法的限制及性質〉一文中，我們知道矩陣乘法的特殊性開啟了許多的可能性，比如說兩個均不為零方陣的同階方陣，相乘之後竟然可以是零方陣。接下來我們要看的是矩陣乘法的另一種重要應用，讓我們先從簡單的二階方陣看起。
給定方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 3&2 \end{array}} \right]\)，哪些 \(2\times 1\) 階矩陣 \(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1}}}\\ {{x_{2}}} \end{array}} \right]\) 會滿足 \(A \cdot X = \lambda\cdot X\)，
其中 \(\lambda\) 是實數，而非矩陣。
方程式 \(A \cdot X =\lambda\cdot X\) 的意義就是 \(X\) 在乘以 \(A\) 之後，會變成原來的 \(\lambda\) 倍。 Continue reading →
- 轉移矩陣的穩定狀態與Google搜尋引擎 2014/01/18
