矩陣乘法的限制及性質（Constraints and Properties of Multiplication of Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

矩陣乘法的限制

讓我們先回到〈矩陣的運算〉中乘法的例子：

當兩個矩陣相乘，我們要將前一個矩陣第一列的元與後一個矩陣第一行的元，依順序相乘後相加，所得就是新矩陣第一列第一行的元，也就是 \(3\times 10+1\times 50+0\times 20=80\)。依此規則，就可以求得兩個矩陣相乘後的每一個元。 Continue reading →

二階方陣的凱萊─漢米爾頓定理（The Cayley-Hamilton Theorem for 2×2 Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 求解對我們來說一點都不困難，公式解 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
想必不少人都能夠琅琅上口。現在讓我們將方程式的想法，推廣應用到矩陣，會不會有什麼美妙的事情發生呢？直觀來看，若將未知數 \(x\) 看成 \(1\times 1\) 階方陣，結論並沒什麼不同。
但若將未知數 \(x\) 換作其他階的方陣，那結果可就很有趣囉！讓我們先看看二階方陣的例子。 Continue reading →

一題有趣的矩陣試題（An Interesting Question of Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

「設  \(A=\begin{bmatrix} 1 &4\\3 & 2\end{bmatrix}\) ，且二階方陣 \(X\)、\(Y\) 滿足 \(X+Y=I\) 且  \(XY=O\)，
其中 \(I=\begin{bmatrix} 1 &0\\0 & 1\end{bmatrix}\) 、 \(O=\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}\) 。若存在實數 \(a>b\) 使得 \(A=aX+bY\)，
求 \(a\)、\(b\) 之值。」

上面這個題目曾多次出現在不同的考試之中（敘述略有出入），而無論是哪一份試卷，絕大多數的考生都是被考倒的。以下提供四種不同層次的解法，供讀者參考。

解法一：（努力計算）

\(\begin{cases} X+Y=I\\aX+bY=A\end{cases}\Rightarrow\)  解聯立得  \(\begin{cases} X=\frac{A-bI}{a-b}\\Y=\frac{A-aI}{b-a}\end{cases}\)，因為 \(XY=O\)，

故  \(\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{-(a-b)^2}\begin{bmatrix} 1-b &4\\3 & 2-b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1-a & 4\\ 3 & 2-a\end{bmatrix}\Rightarrow b=3-a\)

代入  \((1-b)(1-a)+12=0\Rightarrow a^2-3a-10=0 \Rightarrow (a,b)=(5,-2) or (-2,5)\)

又  \(a>b\)  ，故  \((a,b)=(5,-2)\)  。

上述解法就是將 \(X\)、\(Y\) 用  \(A\) 表示後，再利用 \(XY=O\) 解出 \(a\)、\(b\) 。

基本上都是在做計算，看不出此題背後的數學結構為何。 Continue reading →

矩陣（Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹何謂矩陣及矩陣的相等。

我們經常將許多資料以表格的方式呈現，不僅易於掌握資料，也利於後續的分析。如右表是某家工廠每一季銷售甲、乙、丙三型產品的數量，從表格中我們不僅可以知道每一季的銷售總量，更可以很快地掌握到甲型產品不會受到季節性因素的影響，銷售量大抵上都是10個左右；至於乙、丙型的產品，顯然就與季節性因素有很大的關聯，一個是逐季遞增，另一個恰好相反，是逐季遞減。如果這種銷售趨勢在不同的年度不會有太大的改變，那工廠負責人就可以據此來準備生產所需的零件，甚至是工廠工人的工作時數等等。

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Dandelin Spheres證明圓錐截痕的焦點性質
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師

目前實施的99課綱高中數學中，弱化了圓錐曲線的單元，所謂的「圓錐截痕」不再是必須教授的單元。各版本課本或數學教師在教授時也僅是簡單的陳述平面與圓錐的截痕何時為圓、橢圓、拋物線或雙曲線，基本上與課本採用的焦點定義方式無法連結，學生只是被動地接受老師所說的與模型所看到的曲線名稱而已。

不過，藉由 Dandelin 球面的想法，我們可將圓錐截痕與焦點的定義方式連結，以一種較為簡潔的形式，證明阿波羅尼斯在《錐線論》中所陳述與證明的性質。 Continue reading →

求一術與插值多項式
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師

一、求一術

所謂求一術，即是一般所稱的中國剩餘定理，指的是解一次同餘式的問題，例如：

今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？

這樣的問題首先出現在《孫子算經》一書中。一般這個問題就稱為「孫子問題」，這種問題在民間流傳頗廣，通常有「秦王暗點兵」、「韓信點兵」、「翦管術」、「鬼谷算」等稱法。

孫子問題即是「求一數 \(N\)，除以 \(3\) 餘 \(2\)，除以 \(5\) 餘 \(3\)，除以 \(7\) 餘 \(2\)」，這個問題不僅是一個提昇讀者興趣的題目，它和古代曆法的推算有密切的關係。我們用 \(N\equiv r_i(\bmod~m_i)\) 符號代表 \(N\) 用 \(m_i\) 去除餘 \(r_i\)，例如 \(N\equiv 2(\bmod~3)\) 表示一數 \(N\) 除以 \(3\) 餘 \(2\)，因此這類問題即是解下列的聯利一次同餘式： Continue reading →

三次方程式的根式解
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師

1545 年，義大利的一位醫生兼數學家卡丹諾(Gerolamo Cardano, 1501-1576)出版了《大技術Ars Magna or The Rules of Algebra》，首次向世人展示了如何求解三次與四次方程式的完整過程。然而三次方程式的根式解，如同許多數學上的偉大成就一般，無法只歸功於卡丹諾一人，甚至在其公開的過程中，為了優先權之爭，還引起公開挑戰、言語攻訐、陰謀策劃等等，算是數學史發展上相當具有社會史色彩的一頁。 Continue reading →

算幾不等式的證明(III)(Inequality of arithmetic and geometric means)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

已知：\(a_1,a_2,…,a_n\) 為正數或零。

求證：

\(\displaystyle\frac{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}\)，“\(=\)” 成立時若且唯若，\(a_1=a_2=…=a_n\)。

(其中 \(\displaystyle\frac{{{a_1} + {a_2} + … + {a_n}}}{n}\) 稱為算術平均數AM，\(\sqrt[n]{a_1a_2…a_n}\) 稱為幾何平均數GM)。

在此篇文章中，筆者再介紹兩種證明算幾不等式的方法，第一個稱為「調整法」，第二個是波里亞(George Pólya,1887 –1985) 的指數證明方法。

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