- 三角函數的疊合 2011/09/16
三角函數的疊合 (Simplifying \(\sin x+\cos x\))
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編摘要：在學會正弦、餘弦的基本函數圖形及其平移伸縮後，很自然會想知道正弦與餘弦組合（\(y = A\sin x + B \cos x\) ）圖形的樣貌，即「三角函數的疊合」。疊合有非常多有趣的切入點，本文簡單點出幾個不同的想法。
正規課本內容
不論任何版本的課本，第一個例子幾乎都是 \(y=\sin x +\cos x\) ，想辦法將 \(y=\sin x +\cos x\) 湊成和角公式，技巧是提出以 \(A\)、\(B\) 為兩股的斜邊，即 \(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\) ，就能夠將 \(y=\sin x+\cos x\) 化簡成單一三角函數：
\(\begin{array}{ll} y &=\displaystyle \sin x+\cos x \\&=\displaystyle\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})~~~~~~~~~(1)\end{array}\)
- 三角函數積與複數 2011/09/16
三角函數積與複數 (Complex Number and Product of Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯連結：三角函數和與複數
摘要：不同於上篇利用圖形對稱性的作法，這裡將棣美弗定理（de Moivre’s formula）、二項式定理（Binomial theorem）作連結，發現其中的恆等式，進而幫助化簡正弦連乘。
題目：試求 \( \displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \) 之值。
- 三角函數和與複數 2011/09/16
三角函數和與複數（Complex Number and Sum of Trigonometric Functions）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯摘要：本文介紹一題舊教材常見的和差化積問題，將其與 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根連結，直接利用圖形的對稱性即可看出解答。
以下問題為99課綱前高一和差化積常見的練習題，筆者曾經非常不喜歡此題，直至學到了棣美弗定理及 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根後，有了新的看法，故本文上篇的重點不在於發展技巧。和差化積容易衍伸出需要技巧的難題，在99課綱已被刪掉，不過此題搭配 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根一起看還是很有趣，藉由本文提出與各位分享。 Continue reading →
- 正多邊形拼貼（二）（Regular Tessellation II） 2011/09/14
正多邊形拼貼（二）（Regular Tessellation II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯連結：正多邊形拼貼（一）
摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。
延續上一篇所提出的問題，接下來要討論正多邊形拼貼的所有可能情形。 Continue reading →
- 正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I） 2011/09/14
正多邊形拼貼（一）（Regular Tessellation I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授摘要：本文介紹有趣的正多邊形拼貼，只要有國中的知識，加上耐心就能解決問題。
看著五顏六色的圖案不斷延伸的磁磚或壁紙，是學生日常生活中最會注意到的幾何經驗之一。拼貼不是繪圖而是裝飾，工人不需要是畫家或設計者，而能製作出這些精美的效果，來自於其中簡單的重複性，也就是對稱性。 Continue reading →
- 量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers） 2011/09/14
量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯連結： 量詞（一）：量詞與其否定
摘要：本文討論量詞的交換問題。
前一篇的命題中，除了「自然數無窮多」的命題外，量詞都只有一個。當量詞超過一個，它們的順序可不可以交換，就變成基本的問題。由底下的例子
$$\forall x\cdot\forall{y}\cdot x^2+y^2\ge 0$$ 和 $$\forall y\cdot\forall{x}\cdot x^2+y^2\ge 0$$，$$x,y$$ 是實數。
或者
$$\exists x\cdot\exists{y}\cdot x^2+y^2=0$$ 和 $$\exists{y}\cdot\exists{x}\cdot x^2+y^2=0$$，$$x,y$$ 是實數。
- 量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers） 2011/09/14
量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯摘要：介紹量詞的意思，並討論含量詞命題的否定。
一般人第一次聽到推理思考的例子，通常並不是命題演算中「若 $$P$$ 則 $$Q$$」的實質蘊涵，而是下面這類亞里士多德式的三段論法：
所有人都會死
柏拉圖是人
所以柏拉圖會死- 奇怪的「若P則Q」（二）（The Odd Material Implication II） 2011/09/14
- 三角函數積與複數 2011/09/16