- 代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra, FTA） 2011/04/26
代數基本定理（Fundamental Theorem of Algebra, FTA）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授 /國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯一七九九年，高斯（Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855）證明了代數基本定理（FTA），完成了他在前一年有關正十七邊形可以尺規作圖的證明之後，再一個偉大的數學貢獻。而這，也是他的博士論文主題。
這一篇學位論文的題目為：「有關單變數的有理整函數可以分解為一次或二次實因式的乘積之新證明」（A new proof that every rational integral function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree）。其中，如果允許複數的話，所謂的二次實因式，即可分解為一次因式的乘積，如此，此一有理係數多項式（即高斯所謂的「單變數的有理整函數」），也就跟著可以分解為一次因式的乘積了。 Continue reading →
- 微積分基本定理 2011/04/26
微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯在高中數學課程中，微積分內容的引進通常僅止於簡單的微分與積分之計算，相當可以呼應 calculus 一詞的意義。至於有關極限的概念，大概都是通過切線的直觀意義之說明。如此一來，微積分基本定理的重大意義就變得隱晦不彰，從而牛頓與萊布尼茲各自獨立地對微積分的巨大貢獻，也就難以深刻體會了。
事實上，即使在運算層次，微分與積分這兩個可逆運算的理論聯繫，也總是需要微積分基本定理才能說得明白。一般來說，這個定理有兩種形式：
- 先積分再微分：\(\displaystyle\frac{d}{dx}(\int^x_a f(t)dt)=f(x)\)
- 先微分再積分：\(\displaystyle\int^b_a F'(t)dt=F(b)-F(a)\)
- 點數問題與機率論的源起 2011/04/26
點數問題與機率論的源起 (Problem of Points and the origin of probability theory)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯1654年，法國貴族迪默勒 (Chevalier de Méré) 向數學家巴斯卡提出一個賭金分配問題。那就是在一場未完成的賭局中，如何分配賭金呢？這些「賭金」來自賭徒在一開始所下注的。根據慣例，只要一下注，直到遊戲結束前，這些賭金是不屬於任何人的，結束時，只有贏家能擁有全部賭金。 Continue reading →
- 統計：從政治算術到一門科學（Statistics: from political arithmetic to a science） 2011/04/26
統計：從政治算術到一門科學（Statistics: from political arithmetic to a science）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/ 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯「統計」是一個多義的名詞，而且，常常在面對質疑的意見時，被用來保證其可信度。我們有時使用它來談論資料，特別是指數值資料 － 例如，「$$93\%$$ 的統計數值是編造的」。當在這些意義下使用時，統計（statistics）是個複數名詞：數據的每一小部分都是一個統計量（statistic）。當統計（statistics）作為單數名詞使用時，它所指涉的，是一門產生及分析這些數據的科學。這門科學有著悠久的歷史根源，但卻是在二十世紀初期才發展興盛起來。 Continue reading →
- 圓的度量與π的故事 2011/04/26
圓的度量與 $$\pi$$ 的故事 (Circle measurement and the story of $$\pi$$)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯本文主要介紹圓周率的發展史，前半部尤其側重它的精密逼近圓之度量的關連。
$$\pi$$ 有一段長遠且多樣的歷史。這個符號一開始並不用來表示數目，它只是一個希臘字母，對應英文字母中的 $$p$$。不過，現在它所代表的這個數目，在古希臘時期即已廣為人知。在很久以前，古希臘甚至更早的人們早就知道圓有一個特別的、有用的性質：任一圓的圓周除以它的直徑，總是得到一個相同的數目。如果我們同意把這個數目稱為 $$\pi$$，那麼，這個事實就可轉換成一個熟悉的公式：$$C=\pi d$$（其中 $$C$$ 為圓周，而 $$d$$ 為直徑）。換句話說，任何一個圓的圓周與直徑之比都是相同的。另一方面，古時候的學者們也早已知道：圓的面積總是等於這個常數乘上以半徑為邊的正方形面積，也就是圓面積 $$A=\pi r^2$$（其中 $$r$$ 是半徑）。
- ICMI的第一任主席克萊因（Felix Klein: The first president of International Commission on Mathematics Instruction, ICMI） 2011/04/26
ICMI的第一任主席克萊因（Felix Klein: The first president of International Commission on Mathematics Instruction, ICMI）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯所謂的 ICMI 是國際數學教育組織，每四年召開一次全球性的國際數學教育會議（International Congress on Mathematics Education, ICME）。明年（2012年），此一國際研討會將在南韓召開，是國際數學教育界的一大盛事。
這個組織的第一任主席，就是偉大的德國數學家克萊因（Felix Klein, 1849-1925）。他出任的原因之一，當然有可能是因為他長期關心數學教育，因此，他以大數學家之尊「蹲下去」，應該在國際之間發揮了極大的影響力吧。
- 中國剩餘定理 2011/04/26
中國剩餘定理 (Chinese Remainder Theorem)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯「中國剩餘定理」是指中國古代用以求解《孫子算經》「物不知數題」的一種方法：
今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？
答曰：二十三。 Continue reading →
- 希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（Formalism and David Hilbert’s Foundations of Geometry） 2011/04/26
希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（Formalism and David Hilbert’s Foundations of Geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯一般人若對於數學哲學流派中的形式主義（formalism）感興趣，那麼，最值得參考的經典文獻，莫過於希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）的《幾何學基礎》（The Foundations of Geometry）。這本書源自哥廷根大學 1898-1899年冬季班有關歐氏幾何課程的教材。 Continue reading →
- 微積分基本定理 2011/04/26