- 微積分初階-歷史發展的眼光(3)微積分是「以有涯逐無涯」的學問(First Course in Calculus-A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes) 2011/01/16
微積分初階-歷史發展的眼光(3)微積分是「以有涯逐無涯」的學問(First Course in Calculus-A Historical Approach 3.From finite processes to infinite processes)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(2)促動微積分誕生的四類問題
大家對於切線與面積當然都有直觀的認識,但這還不夠,必須進一步加以精鍊。更明確地說,我們必須在概念上先澄清下面兩個問題:
什麼叫做切線?什麼叫做面積? Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(4)阿基米德求拋物線弓形領域的面積(First Course in Calculus-A Historical Approach 4. Archimedes’ Quadrature of the parabola) 2011/01/15
微積分初階-歷史發展的眼光(4)阿基米德求拋物線弓形領域的面積(First Course in Calculus-A Historical Approach 4. Archimedes’ Quadrature of the parabola)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(3)微積分是「以有涯逐無涯」的學問
微積分學的發展歷史源遠流長,我們只選取古希臘偉大的數學家阿基米德(Archimedes, 287-212 B.C.)以及17世紀初的費瑪(Fermat, 1601-1665)當作樣本來介紹。
首先我們看阿基米德如何使用「窮盡法」(Method of Exhaustion)來求拋物線弓形領域的面積。 Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(5)費瑪的動態窮盡法求面積(First Course in Calculus-A Historical Approach 5. Fermat’s method of dynamic of exhaustion) 2011/01/14
微積分初階-歷史發展的眼光(5)費瑪的動態窮盡法求面積(First Course in Calculus-A Historical Approach 5. Fermat’s method of dynamic of exhaustion)
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費瑪採用動態窮盡法(Method of dynamic exhaustion)來求積。他在1636年得到的下面的結果: Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(6)費瑪的擬似相等法求極值(First Course in Calculus-A Historical Approach 6. Fermat’s pseudo-equality method) 2011/01/13
微積分初階-歷史發展的眼光(6)費瑪的擬似相等法求極值(First Course in Calculus-A Historical Approach 6. Fermat’s pseudo-equality method)
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費瑪的求極值方法,首次引出「無窮小量」的概念,讓他悄稍地來到微積分的大門口,但缺臨門一腳的功夫。真正開啟這扇大門的是牛頓與萊布尼茲。 Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(7)牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法(First Course in Calculus-A Historical Approach 7.Newton’s differential calculus) 2011/01/12
微積分初階-歷史發展的眼光(7)牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法(First Course in Calculus-A Historical Approach 7.Newton’s differential calculus)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(6)費瑪的擬似相等法求極值
牛頓讀到費瑪求極值的著作,立即悟出微分法的概念。這是微積分史上的偉大時刻(a great moment)。我們列出下面的對照表,求 $$f(x)=ax-x^2$$ 的極值: Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(8)牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎(First Course in Calculus-A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus) 2011/01/11
微積分初階-歷史發展的眼光(8)牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎(First Course in Calculus-A Historical Approach 8. Problem of motion leads to Calculus)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(7)牛頓讀費瑪的著作精煉出微分法
運動現象的研究是牛頓關切的核心問題,從而揭開微積分之謎。下面我們就利用高速公路上的車子之運動來解說這一切。
台灣的高速公路從基隆到高雄、屏東,是歪七扭八的,但是我們可以想像把它拉直(作個想像的實驗!)得到一條直線。再將直線上每一點都賦予一個笛卡兒坐標,使得兩點的坐標差就代長了高速公路上相應兩個地點之間的里程(距離)。這是真實的高速公路的抽象化、理想化或模型。 Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(9)萊布尼茲從差和分連續化得到微積分(First Course in Calculus-A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration) 2011/01/10
微積分初階-歷史發展的眼光(9)萊布尼茲從差和分連續化得到微積分(First Course in Calculus-A Historical Approach 9. From Calculus of Difference and Summation to Calculus of Differentiation and Integration)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(8)牛頓由運動現象的研究揭開微積分之謎
這一節我們介紹萊布尼茲如何由差和分走到微積分。關於發明微積分這件事情,萊布尼茲走著跟牛頓不同的路徑,但是殊途同歸。按數學常理,我們先從最簡單的情況思考起,亦即線段的差和分。 Continue reading →
- 微積分初階—歷史發展的眼光(10)極限、無窮小量與連續函數(First Course in Calculus-A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity) 2011/01/09
微積分初階—歷史發展的眼光(10)極限、無窮小量與連續函數(First Course in Calculus-A Historical Approach 10. Limit, Infinitesimal and Continuity)
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯連結:微積分初階-歷史發展的眼光(9)萊布尼茲從差和分連續化得到微積分
甲、極限
極限概念是用來從「有涯」飛躍到「無涯」的工具。對於它,我們採取直觀的了解,因為這差不多是人類的良知良能。但是極限的嚴格定義,即函數的極限之 $$\varepsilon-\delta$$ 定式以及數列的極限之 $${\varepsilon}-N$$ 定式,對初學者來說又是一件艱難的事情,跟無窮小量不相上下。總之,要征服「無窮步驟」,不論是採用「無窮小量的論述法」或「極限的論述法」都會有基本上的困難。 Continue reading →
- 微積分初階-歷史發展的眼光(4)阿基米德求拋物線弓形領域的面積(First Course in Calculus-A Historical Approach 4. Archimedes’ Quadrature of the parabola) 2011/01/15
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