圓錐曲線的教學動機與作圖器的製作（Motivation to teach conics and construction apparatus）
台北市立西松高中數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一、前言

一個數學教師在教學過程所碰到的問題，必須能夠靠自己的專業訓練尋求解答。他/她可以藉助於自身的教學經驗、同儕的幫忙，或是尋求書本中的知識，藉此造就自己的專業成長。在教師尋求解答的許多途徑中，他/她在數學史中所獲得的背景資料與相關知識，經過適當的剪裁與應用，可以讓數學教師更深入詮釋教科書中的數學知識，進一步轉化成適合的教材，讓學生在學習過程中，更全面地體會、欣賞與吸收老師所教與的數學知識，讓教師與學生同時獲得成長。 Continue reading →

銳角三角函數的幾何表徵(Geometric Representation of Trigonometric Functions on Acute Angles)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/ 國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

一般說來，對於三角函數的主題，都是由銳角三角函數的定義開始。在直角三角形中，若有一銳角為 \(\theta~(0^\circ<\theta<90^\circ)\)，則另一銳角為 \(90^\circ-\theta\)。此時所有以 \(90^\circ\)，\(\theta\)，\(90^\circ-\theta\) 為三內角的直角三角形都是相似的，因此無論三角形大小，其三邊的比例均是定值（只隨 \(\theta\) 改變）。 Continue reading →

從畢氏定理到餘弦定律（From Pythagorean Theorem to Cosine Law）
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

在高中課程三角函數的單元中，餘弦定律是個重要的主題。

所謂餘弦定律是給定任意的三角形 $$ABC$$，以 $$a,b,c$$ 表示 $$\angle{A},\angle{B},\angle{C}$$ 所對應的邊長，則

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

當 $$\angle{C}=90^\circ$$時，$$\cos{C}=0$$，因此，

$$c^2=a^2+b^2$$。

教科書的編者就以此下了個結論：「餘弦定律是畢氏定理的推廣，而畢氏定理是餘弦定律的特例。」當然，就代數形式來說，這個結論沒有問題。只不過，老師很難讓學生對於這個結論「有感覺」，從而對餘弦定律有更深刻的體認。 Continue reading →

三角測量（Trigonometric Measurements）
國立蘭陽女子高級中學數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角測量法是指在平面上選定三個不共線的點，連成一個三角形，由已知的點觀察各方向的夾角，再測量各邊邊長，其中可以分為平面三角形和空間三角形測量法。其量測方式可利用正弦定理和餘弦定理求解一般三角形，和運用正切函數求解直角三角形。

正弦定理公式：\(a/\sin{A}=b/\sin{B}=c/\sin{C}\)，即「大邊對大角，小邊對小角」的具體數量化，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 分別代表邊 \(a\)、\(b\)、\(c\) 所對應的三角形的頂角；
餘弦定理公式：\(c^2=a^2+b^2-ab\cos{C}\)，主要應用在各種地形、工程測量中；正切函數則是利用鄰邊與對邊的比例關係解題。 Continue reading →

正弦定理(Law of sine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

正弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

則恆有性質 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)，此稱為正弦定理。

證明：因為 \(a\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)，

同乘二倍得 \(bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)

同除 \(abc\) 得 \(\displaystyle\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\)，

取其倒數得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}~-(1)\)。

在不失一般性的情形下，我們以圓內接銳角三角形進行證明，如圖一所示。   Continue reading →

倍角公式 (Double-Angle Formula)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角函數的倍角公式可分為二倍角公式、三倍角公式等兩種，

對二倍角公式而言，在正弦函數方面，有 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)，

在餘弦函數方面，有 \(\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta\)，

還有，在正切函數方面，有 \(\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\)。

至於三倍角公式，則有正弦函數：\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)；

餘弦函數：\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)；

正切函數：\(\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan\theta}\)。 Continue reading →

海龍公式(Heron’s Formula)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

海龍公式：若 $$\Delta{ABC}$$ 的三邊長 $$\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c$$，令 $$s=\frac{a+b+c}{2}$$，

則 $$a\Delta{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$，此稱為海龍公式。

證明：一般高中數學教科書常用代數方法證明，利用餘弦定理及兩次平方差公式，如下敘述。

$$\begin{array}{ll}a\Delta{ABC}&=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2\sin^2A}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2(1-\cos^2A)}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2-b^2c^2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})^2}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b^2+2bc+c^2)-a^2][a^2-(b^2-2bc+c^2)]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}\\&=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$$

在一般數學教學現場中，學生對於海龍公式證明的反應通常是認為繁瑣、難以心神領會；可是對於這個公式的方便又折服不已，只要給定三邊長就可以算出三角形面積，這是多麼美麗的公式(beautiful formula)啊！ Continue reading →

餘角關係 (Trigonometric Identities for Complementary Angles)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在 $$\Delta{ABC}$$ 中，若 $$\angle{ABC}=90^\circ$$，則 $$\angle{A}+\angle{B}=90^\circ$$，如下圖一所示：

圖一：現行高中數學教科書，銳角三角函數的定義是建立在直角三角形上。

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