複數 (Complex number)
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

「哪一個數的平方會是 $$-1$$？」一般人的生活經驗中根本不會遇到這樣子的數，就算是用一般用的計算機，怎麼按也按不出來。不過，確實有這樣子的數，我們把平方等於 $$-1$$ 的數記作 $$\sqrt{-1}$$，並用「$${i}$$」來表示 $$\sqrt{-1}$$，即 $$i^2=-1$$，「$$i$$」就稱為「虛數單位」。

從此，平方之後等於一個負數的，或是偶數次根號之中為負數的，都可以用「$$i$$」來表示。例如平方之後等於 $$-2$$ 的數就記作 $$\sqrt{-2}$$，則 $$\sqrt{-2}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1}=\sqrt{2}i$$，平方就得 $$(\sqrt{2}i)^2={\sqrt{2}}^2\cdot{i}^2=2\cdot(-1)=-2$$。至於在人類歷史上，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是怎麼誕生的，在此不多作說明，有興趣的讀者可以參閱陳鳳珠的〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的誕生〉。

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根號2是無理數的幾何證法與逼近（Geometric proof for the irrationality of $$\sqrt{2}$$ (and its approximation）
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

 一、幾何法

要證明「$$\sqrt{2}$$ 是無理數」，亦即證明正方形的邊長與對角線是不可公度量的，可以從純粹幾何的角度來證明。畢竟，無理數的「不可公度量性」，就是從幾何量的度量產生，它的定義，本身就有很強烈的幾何意涵。

如下圖：$$d,a$$ 分別是正方形 $$ABCD$$ 的對角線與邊長，利用輾轉相減的方法，從 $$d$$ 中減去 $$a$$，剩下的為 $$\overline{CF}=d-a$$；再從 $$a$$ 中減去 $$d-a$$，得到 $$\overline{CE}=a-(d-a)=2a-d$$；接下來，以 $$\overline{CF}$$ 為一邊，$$\overline{CE}$$ 為對角線，得到正方形 $$CFEG$$。 Continue reading →

99課綱的教與學的問題(Reflection on 99 Senior High School Mathematics Curriculum)
台北市立西松高中 蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

高中數學課程在繼88課程綱要結束之後，95暫綱也即將邁入尾聲，高中數學即將迎接一個全新的年代。全新的改變會帶來衝擊是一定的，但是，高中數學教師如何在上層決定的改變之下「生存」？是以不變應萬變？還是應該要順應潮流走？ Continue reading →

插值多項式的教與學問題(Teaching and Learning Issues on Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

99課綱中最為數學教師不解與頭痛的問題，應該就是插值多項式了。在課綱的 應該就是插值多項式了。在課綱的 專刊說明中提到：

在一般多項式的應用中有兩個課題，一是多項式的求值，一是插值多項式。原則上多項式可以透過四則運算求值，也因為如此，多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。另外，多項式也被用來作為插值的工具。插值的方法很重要，它用少量的數據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。

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「數學歸納法」為什麼會對？(Why does “Mathematical Induction” work?)
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

給定一個關於正整數 $${n}$$ 的敘述 $${P(n)}$$，數學歸納法用下面兩個步驟證明 $${P(n)}$$ 對於所有正整數 $${n}$$ 都成立：

１、（歸納基礎）證明 $$n=1$$ 時，$${P(1)}$$ 成立。
２、（歸納步驟）假設 $$n=k$$ 時 $${P(k)}$$ 成立，證明當 $$n=k+1$$ 時 $$P(k+1)$$ 成立。

在一般教科書裡，有時會給出其他形式的數學歸納法。譬如，給定一個正整數 $$m$$，下面這種形式的數學歸納法，可以在兩步內證明 $${P(n)}$$ 對於所有不小於 $$m$$ 的正整數 $$n$$ 都成立： Continue reading →

「數學歸納法」其實不歸納（Mathematical Induction is not induction at all）
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

通常教科書裡講解數學歸納法時，會出現類似下面的陳述：給定一個關於正整數 $${n}$$ 的敘述 $${P(n)}$$，如果想證明 $${P(n)}$$ 對於所有正整數 $${n}$$ 都成立，只需做兩件事：

１、（歸納基礎）證明 $${n}=1$$ 時，$${P(1)}$$ 成立。
２、（歸納步驟）假設 $${n}={k}$$ 時 $${P(k)}$$成立，證明當 $${n=k+1}$$ 時，$${P(k+1)}$$ 成立。

當這兩件任務完成後，$${P(n)}$$ 就對所有正整數 $${n}$$ 成立了。 Continue reading →

證明是一種說服的過程（Proof is a process of persuasion）
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

1994年10月外爾斯（Andrew Wiles）完成了著名的「費馬最後定理」的證明，確定下面的命題為真：

$$(*)$$「當正整數 $${n}>{2}$$ 時，不可能存有三個正整數 $$a$$、$$b$$、$$c$$，使得 $${a^n}+ {b^n} = {c^n}$$。」

雖然1637年費馬（Pierre de Fermat）首先斷言此定理成立，並且宣稱自己找到一個巧妙證明，卻因為書本的邊緣太小寫不下，但是直到外爾斯的論文正式發表之後，數學界才真正接受「最後定理」為定理。 Continue reading →

1為什麼不該是質數？ (Why “1” should not be a prime number?)
中央研究院數學所研究員 李國偉

一般教科書裡定義什麼是質數時，會與下面這段話的說法大同小異：

「一個大於 $$1$$ 的正整數 $$p$$，如果只有 $$1$$ 和 $$p$$ 本身兩個正因數時，則稱 $$p$$ 為質數。
如果還有異於 $$1$$ 和 $$p$$ 的正因數時，則稱 $$p$$ 為合數。」

從這類定義可看出，所有正整數除了劃分為質數與合數兩類外，還有一個孤零零的 $$1$$。然而表面上看來 $$1$$ 也只有 $$1$$ 和它本身為正因數，那麼 $$1$$ 為什麼就不能算是質數呢？倘若 $$1$$ 也算做質數，所有正整數就只需劃分為兩類，不是更單純一些嗎？ Continue reading →