對數律（Logarithmic law）
國立北門農工職業學校數學科李建老師／國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

由對數定義 $$\log_ax=y$$（$$a>0$$ 且 $$a\neq{1}$$，$$x>0$$）可以表達出和 $$x=a^y$$ 一樣數學式子的意義。而從中文字面意義上，對數就是計算出 $$x$$ 可以表示成 $$a$$ 的多少次方？隱含消去法則 。下表例子更可以很清楚表示出這消去法則的關係式子：

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複利(Compound interest)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

錢滾錢的方式，可能讓人富有也可能讓有債務的人破產，那麼，錢如何滾錢呢？當然就財務上所謂複利的效果，也就是假設你有 $$100$$ 萬元年初存入銀行，銀行給你一年 $$2\%$$ 的利息，如果每一年計息一次，則一年後你銀行存款就會有 $$100\times(1+0.02)=102$$ 萬，隔年如果繼續存款 Continue reading →

對數 (Logarithm)
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

對數的思考，大家都知道是為了簡化計算而來的，當時在航海、商業、天文等方面的計算需求，提供了一個很強的動機，來尋找簡化計算的方法。這對第一線的研究者更是重要，在之前科學家們必須花大量的時間來做瑣碎的計算，對我們這些生活在21世紀的人而言，雖可想像，但仍令人相當的震撼且驚訝。 Continue reading →

一次因式檢驗法與有理根判別法（Linear factor test and determination of rational root）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 \(f(x)\) 的係數都是整數的時候，就稱之為「整係數多項式」。對於整係數多項式，我們可以利用整數的因數、倍數關係，來找尋它的整係數一次因式，這個方法，就稱之為「整係數多項式的一次因式檢驗法」，簡稱「一次因式檢驗法」：

 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0\) 是 \(n\) 次整係數多項式，
若 \(f(x)\) 有一次因式 \(ax-b\)，其中 \(a\) 與 \(b\) 是互質的整數，
則 \(a\) 是首項係數 \(a_n\) 的因數，且 \(b\) 是常數項 \(a_0\) 的因數。

要特別注意的是，此檢驗法給我們的是整係數一次因式會滿足的條件，而非滿足此條件的都是因式。例如 \(f(x)=(2x-1)(3x-2)=6x^2-7x+2\)，\(3x-2\) 是 \(f(x)\) 因式，確實滿足 \(3\) 是首項係數 \(6\) 的因數，且 \(2\) 是常數項 \(2\) 的因數；另找一個一次式 \(x-1\)，這亦滿足首項係數的因數與常數項的因數，但顯然 \(x-1\) 並非 \(f(x)\) 的一次因式。 Continue reading →

多項式不等式（上）：一次不等式與二次不等式（Polynomial inequality (I): Inequalities of first and second order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，
則 $$f(x)>0$$，$$f(x)\geq{0}$$，$$f(x)<0$$，$$f(x)\leq{0}$$，都稱為 $$n$$ 次多項式不等式，簡稱「$$n$$ 次不等式」。而所謂的解 $$n$$ 次不等式，就是找出滿足該不等式的所有 $$x$$ 值。不等式的基本運算為：

1. 加法原理：若 $$a>b$$，則 $$a+c>b+c$$ 且 $$a-c>b-c$$。
2. 乘法原理：若 $$a>b$$，則 $$\begin{cases}if~~c>0,~ac>bc\\if~~c<0,~ac<bc\end{cases}$$

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多項式不等式（下）：高次不等式（Polynomial inequality(II): inequality of higher order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

連結：多項式不等式（上）

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是個 $$n$$ 次多項式，且係數都是實數時，
則 $$f(x)$$ 一定可以因式分解成實係數一次因式或實系數二次因式的乘積，

$$\begin{multline*}f(x)=a_n(x-{\alpha}_1)(x-{\alpha}_2)\mbox{…}(x-{\alpha}_k)(x^2-\beta_1x+\gamma_1)(x^2-\beta_2+\gamma_2)\\\mbox{…}(x^2-\beta_mx+\gamma_m)\end{multline*}$$

，其中 $$k+2m=n$$，且 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1=0$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2=0$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m=0$$ 均無實根（參閱拙文，〈實係數多項式方程式虛根成對定理〉），也就是說 $$x^2-\beta_1x+\gamma_1$$，$$x^2-\beta_2x+\gamma_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-\beta_mx+\gamma_m$$ 均恆正。 Continue reading →

多項式方程式與代數基本定理（Polynomial equation and the Fundamental Theorem of Algebra）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

一元一次方程式 $$ax+b=0,a\neq{0}$$ 之解為 $$x=\frac{-b}{a}$$，

一元二次方程式 $$ax^2+bx+c=0,a\neq{0}$$ 之解為 $$\displaystyle{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$，

這兩者在國中數學中均已學過，也都作了不少練習。

那麼，三次以上又如何呢？$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$、$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$、$$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0$$ 等等，到底有沒有解？有沒有公式解？這問題在數學史上是至為精彩的一章，從卡丹諾（Girolamo Cardano,1501~1576）與塔爾塔利亞(Nicolo Tartaglia,1500~1557)的恩怨情仇，到兩個英年早逝的天才數學家：衝動決鬥而身亡的伽羅瓦（Evariste Galois,1811~1832）與貧病交迫的阿貝爾（Niels Henrik Abel,1802~1829），有興趣的讀者上網搜尋相關資料閱讀。 Continue reading →

函數（Function）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

正方形面積公式：「正方形的面積等於其邊長的平方」。今天，我們換個角度來看這個小學生就會的公式，無論正方形的大小如何變化，只要邊長確定了，其面積也就唯一確定了，因為兩者之間有面積等於邊長的平方這層關係。這種關係，其實就是「函數關係」。以下我們用數學的術語來解釋何謂「函數」？ Continue reading →