排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（三）
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

連結：排容原理（二）

這是一系列關於排容原理文章的第三篇。我們介紹兩個高中數學的經典問題–「Euler totient 函數 $$\phi(n)$$」與「有上界的重復組合」。

在上一篇文章中，我們證明了排容原理，然後求出錯列的個數。這篇文章中我們談兩個高中課堂教學必然面對到，但是卻一直講不清楚的問題。這兩個問題都要用到排容原理解釋，而且其實解釋非常容易。 Continue reading →

排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion)（二）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

連結：排容原理（一）

這是一系列關於排容原理文章的第二篇，我們證明排容原理，以及導出錯列（derangement）的計數以及一些性質。

在上一篇文章中，我們說明了排容原理的敘述，也說明了 $$n$$ 個集合的排容原理並不能仿照三個集合的文氏圖“以此類推”而得。在這一篇文章我們來證明排容原理。底下集合都是有限集合，$$X$$ 是宇集（universal set），$$\overline{A}:=X-A$$ 表示 $$A$$ 的補集（complement），$$|A|$$ 表示 $$A$$ 的元素個數。

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圓錐曲線中正焦弦的地位（The status of latus rectumin conics）
台北市立西松高級中學數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

如果數學教師想要將圓錐截痕與高中教材中的定義方式作一連結，可以利用阿波羅尼斯的《錐線論》(Conics) 中所提到的相關內容。阿波羅尼斯(Apollonius of Perga, 約262 B. C. ~ 190 B. C.) 在《錐線論》卷一的第11、12、13命題，引入何謂拋物線、雙曲線與橢圓。

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弧度 (Radian)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

「為什麼要將度換成弧度？」筆者總是會碰到一、兩位好學的學生一臉困惑的追問著。度度量（degree）轉換成弧度量（radian）對一般高中生而言較不易接受， 即使學生已經能習慣性地按「\(180^\circ=\pi\) 弧度」單位換算，但是，對於弧度的概念可能是模糊不清的，尤其 \(\pi\) 本身是個無理數卻又能表示角的大小，學生在直覺上不易理解。 Continue reading →

廣義角的三角函數 (The Trigonometric Functions of a Generalized Angle)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師 / 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

我們對角度的概念，除了銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）之外，當然還有大或等於 \(90^\circ\) 的角度，例如：時針的旋轉、車輪的轉動、地球的公轉…等普遍存在生活中的轉動現象。所以，原先定義在銳角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）條件下的三角函數，顯然無法涵蓋旋轉現象所涉及的角度範圍。但是，如何以更寬廣的角度來拓展銳角三角函數的定義呢？這個問題確實讓數學家傷透腦筋，解決之道正是直角座標系統！延拓的定義如下：

座標平面上，設 \(O\) 為原點，\(\theta\) 為標準位置角，在 \(\theta\) 的終邊上任取一點 \(P(x,y)\)，（\(P\) 不是原點），此時 \(xy\neq{0}\)，令 \(\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，廣義角的三角函數為： Continue reading →

加法原理，乘法原理（Addition Principle and Multiplication Principle）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

計數問題千奇百怪，各式各樣。數學的任何一個學門，都可以跟計數沾上一點邊。也因此，很難對計數問題作歸類。但是，處理這樣形形色色的問題，根本的基礎原理卻就只有五個：

加法原理，乘法原理，對應原理，Fubini原理，排容原理 Continue reading →