除法原理、餘式定理與因式定理 (Theorem of division, remainder and factor)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

小學學除法時，一定學過：「被除數\(=\)除數\(\times\)商數\(+\)餘數」，這就是數的除法原理。開個玩笑，發音發得不標準，聽起來就像是「被除式\(=\)除式\(\times\)商式\(+\)餘式」，數的除法原理就變成多項式的除法原理了。 Continue reading →

勘根定理 (Determination of roots)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一 $$n$$ 個次實係數多項式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們每代入一個 $$x$$ 值，就可得到一個數對$$(x,f(x))$$，那麼，只要有足夠多這樣的數對，將它們視作坐標平面上之點而畫在坐標平面上，就可以大致得到 $$f(x)$$ 的圖形。

事實上，實係數多項式的圖形是一條直線或一條連續的曲線（簡單地說，就是沒有斷掉的曲線），這必須透過高三的微積分課程內容才能說得明白，在此，就請還沒學過微積分的讀者先接受此一性質。 Continue reading →

插值多項式 (Interpolating polynomial)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

例題1：在坐標平面上給定三個點 \(A(1,-2)\)，\(B(2,3)\) 與 \(C(3,12)\)，如何找到一個二次多項式使得其圖形通過這三個點？ 

解此題最簡單的想法，不外是假設所求多項式\(f(x)=ax^2+bx+c\)，

然後將 \(A\)，\(B\)，\(C\) 三點代入，得三元一次聯立方程式 \(\begin{cases}-2=a+b+c\\3=4a+2b+c\\12=9a+3b+c\end{cases}\) ，

利用加減消去法即可求得 \(\begin{cases}a=2\\b=-1\\c=-3\end{cases}\)，即所求 \(f(x)=2x^2-x-3\)。

這方法不錯，但有個缺點，就是要假設三個未知數，然後辛苦地解聯立方程式。今若將題目改成：

例題2：在坐標平面上給定四個點 \(A(1,10)\)，\(B(2,26)\)，\(C(3,58)\) 與 \(D(4,112)\)，如何找到一個三次多項式使得其圖形通過這四個點？ Continue reading →

實係數多項式方程式虛根成對定理 (Pair of imaginary roots in a polynomial equation with real coefficients)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師\國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一個 $$n$$ 次實係數多項式 $$f(x)=a_n{x^n}+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們分別將 $$x$$ 用一個複數及它的共軛複數代入，那會有什麼結果？

例如：若 $$f(x)=3x^2+2x+1$$，分別用 $$x=1+i$$ 與 $$x=1-i$$ 代入，得到 $$\begin{cases}f(1+i)=3(1+i)^2+2(1+i)+1=3+8i\\f(1-i)=3(1-i)^2+2(1-i)+1=3-8i\end{cases}$$，發現 $$f(1+i)$$ 與 $$f(1-i)$$ 兩者是共軛複數。這並不是特例，而是一般的實係數多項式都會有的性質，下面我們用數學符號將這個性質寫出來：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，

$$z$$是複數，則 $$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$$。

證明：

$$\begin{array}{ll}f(\overline{z})&=a_n(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n}+\overline{a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}}+\mbox{……}+\overline{a_1\cdot{z}}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n+a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}+\mbox{……}+a_1\cdot{z}+a_0}\\&=\overline{f(z)}\end{array}$$

利用這個性質可以知道，如果 $$f(z)=0$$，那 $$f(\overline{z})$$ 也會是 $$0$$。換句話說，如果 $$x=z$$ 是 $$f(x)=0$$ 的一個根，那 $$x=\overline{z}$$ 也會是根。這就是「實係數多項式方程式虛根成對定理」：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a_1{x}+a_0=0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式方程式，
$$\alpha$$ 與 $$\beta$$ 是實數，若 $$x=\alpha+\beta{i}$$ 是 $$f(x)=0$$ 的根，則 $$x=\alpha-\beta{i}$$ 也是 $$f(x)=0$$ 的根。

利用「實係數多項式方程式虛根成對定理」與「代數基本定理」，我們馬上可以得到「奇數次實係數多項式方程式至少有一個實根」。道理其實簡單，由「代數基本定理」可知奇數次實係數多項式方程式的根是奇數個（個數就是$$x$$的最高次方），再由「實係數多項式方程式虛根成對定理」，知道這奇數個根中的虛根一定兩兩成對，所以，最後至少會有一個落單，而落單的根必是實根。事實上，若將 $$k$$ 重根計 $$k$$ 成個根的話，那我們還可以知道奇數次實係數多項式方程式的實根必定是奇數個。例如，若$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$$是三次實係數方程式，那麼它的根不是三個都是實根，就是一個實根與兩個互為共軛複數的虛根。

除了可以進一步了解奇數次實係數多項式方程外，對於一般的實係數多項式方程式，我們還可以得到一個重要的推論：「任一個實係數多項式方程式一定可以因式分解成實係數一次因式或實係數二次因式的乘積。」理由如下：

假設 $$n$$ 次實係數多項式方程式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 的
實根為 $$\alpha_1, \alpha_2,\mbox{……}, \alpha_k$$，虛根為 $$\beta_1,\overline{\beta_1},\beta_2,\overline{\beta_2},\mbox{……},\beta_m,\overline{\beta_m}$$，
其中 $$k+2m=n$$，則 $$f(x)$$ 可因式分解成

$$\begin{array}{ll}f(x)&=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)(x-\beta_1)(x-\overline{\beta_1})(x-\beta_2)(x-\overline{\beta_2})\mbox{…}(x-\beta_m)(x-\overline{\beta_m})\\&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)[x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}]\mbox{…}[x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}]\end{array}$$

其中 $$x-\alpha_1$$，$$x-\alpha_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x-\alpha_k$$均為實係數一次式，$$x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}$$，$$x^2-(\beta_2+\overline{\beta_2})x+\beta_2\cdot\overline{\beta_2}$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}$$均為實係數二次式。

綜合除法 (Synthetic Division)
臺北市立中山女高數學科陳啟文老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

綜合除法基本上就是多項式長除法 (Long Division) 的簡化過程，將計算的算式，巧妙的省略與排列後，藉由簡單且重複的操作，可以找出多項式的一次因式，也可以計算多項式函數的函數值。

例如，我們要計算多項式 \(3x^3-3x^2+8x-3\) 除以 \(x-2\) 的商式與餘式，其簡化的過程如下圖所示： Continue reading →

函數近似值與插值多項式學習單(Workcard for Approximating Function in terms of Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

針對筆者在插值多項式的評論文中所提的幾個問題，在此嘗試設計一分學習單，藉由問題設計的引導，讓學生慢慢地理解何謂插值多項式，以及其精神所在。最後，更藉由「大衍求一術」，也就是所謂的中國剩餘定理，將數字中以餘數問題逆推被除數的方法，與拉格朗日插值多項式的假設方法作一個簡單的類比，期望藉此能幫助學生更深入理解拉格朗日插值多項式的合理性。 Continue reading →

複數平面( Complex Plane)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

每一個實數與實數線上的一個點一一對應，實數的數值愈大對應到實數線上的點就愈右邊。但是，虛數 (imaginary number) 沒有大小關係，在實數線上找不到它的位置，如何給虛數一個幾何意義的「住址」，而不再只是虛幻或想像呢？  Continue reading →

１的ｎ次方根（nth root of 1）
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在一元 $$n$$ 次方程式中，首先討論最簡單且重要的方程式 $$x^n=1$$，它顯然有 $$1$$ 這一個實根。根據代數基本定理與因式定理得知，$$n$$ 次多項式方程式恰有 $$n$$ 個複數根，所以方程式 $$x^n=1$$ 共有 $$n$$ 個根。現在，我們應用棣美弗定理求解出 $$n$$ 個 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根。 Continue reading →