各式聯立方程組的程序性解法 (1)：麥克勞林與卡丹諾
（Different Procedural Resolutions of Linear Equations: Maclaurin’s and Cardano’s Works）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹麥克勞林在其《代數學》中所呈現的二元、三元一次聯立方程組的解公式，它們等價於克拉瑪公式。另外還介紹了卡丹諾在《大技術》中相當於二元一次聯立方程組的程序性解法。

麥克勞林的公式

麥克勞林 (Colin Maclaurin, 1698~1746)在27歲的時候獲得牛頓 (Newton)的推薦擔任愛丁堡大學數學教授一職，將一生都奉獻給了故鄉蘇格蘭。在他死後兩年 (1748年)才出版的著作《代數學》(Treatise of Algebra)中，也有今日所謂的「克拉瑪公式」，他利用解方程式的方式，得出下列的公式：

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by = c\\ dx + ey = f \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ce – bf}}{{ae – db}}\\ y =\displaystyle \frac{{af – dc}}{{ae – db}} \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{l} ax + by + cz = m\\ dx + ey + fz = n\\ gx + hy + kz = p \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =\displaystyle \frac{{ekm – bfm + bcn – bkn + bfp – cep}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ y =\displaystyle \frac{{afp – akn + dkm – dep + gcn – gfm}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}}\\ z =\displaystyle \frac{{aep – abn + dbm – dbp + gbn – gem}}{{aek – abf + dbc – dbk + gbf – gce}} \end{array} \right.$$

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微分應用在函數圖形的特徵上
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

一、前言

99課綱的的數學I教材中，在多項式函數的章節裡，有一單元為單項函數，要求學生認識與繪製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函數圖形，然後再利用平移認識 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$（或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$）的圖形即可。

以現階段學生學得的數學知識而言，確實他們也只能學習到此，但是在某些有關三次方程式的實根問題中，如果學生可以知道一般三次函數的圖形時，配合圖形來討論實根，將可降低題目的難度，以及提升學生對解題過程的理解。以下筆者配合微分的學習，來說明三次函數的圖形。 Continue reading →

三次函數圖形的繪製
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

當我們要描繪一個多項式函數圖形時，有幾個需要事先注意與處理的步驟：

1. 確定自變數 \(x\) 的範圍；
2. 求 \(y=f(x)\) 與座標軸的交點：
3. 確定函數圖形是否有水平漸近線、鉛直漸近線或斜漸近線；
4. 計算 \(f'(x)\)，求出曲線上發生極值的點，同時也確定曲線的升降情況；
5. 計算 \(f”(x)\)，求出曲線上的反曲點，同時也確定曲線凹口向上或向下的情況。

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製三次函數的圖形。 Continue reading →

貝氏定理(Bayes’ theorem)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

明天下雨機率是多少？日常生活中我們總是會使用到機率的概念，但是在語句用詞上若不夠周延，就很容易把「在 \(A\) 事件發生的情況下，\(B\) 事件發生的機率」與「在 \(B\) 事件發生的情況下，\(A\) 事件發生的機率」混為一談，也就是把 \(P(B|A)\) 和 \(P(A|B)\) 在邏輯上的不同給忽略了。

這是一個常犯的錯誤，舉例來說：某數學家做愛滋病毒HIV篩檢，醫師告訴他：「檢驗結果是陽性，我真的很遺憾，你只有千分之一的機會能活超過十年。」當下，數學家被醫生的死刑宣判震驚的一時無法言語，但片刻回復冷靜後，他以數學邏輯思維的方式進一步地問清楚醫生所判斷的機率值，才知道為什麼醫生說他只有千分之一的機會是健康的。原來，「千分之一」的意思是「不是愛滋病帶原者，但HIV檢驗結果呈現陽性的機會，是每 \(1000\) 個血液樣本中有 \(1\) 個。」，即 \(\frac{1}{1000}\)。 Continue reading →

機率論源於賭博嗎?
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

「一門開始於研究賭博的科學，竟然成為人類知識中最重要的學科，這無疑是令人驚訝的事情。」 ── 拉普拉斯

歷史上，機率理論的起源之一為賭博問題，討論如何在骰子或紙牌遊戲中訂立公平的賭注。十六世紀義大利的醫師兼數學家卡丹諾 ( Gerolamo Cardano, 1501-1576 )在其著作《機遇賽局之書》( Book on Games of Chance ) 中寫到︰

「我認為自己能勝任賭博的研究有兩個理由。首先考慮到它有用的特性，因為它是有用的，所以必須對它的用處做一種有系統的研究。即使一般人認為賭博是一種罪惡，但想到有這麼多人在賭博，它似乎就成了與生俱來的原罪。就算只為了這個理由，也應該好好研究，就像醫生討論那些無可救藥的疾病。第二，很多哲人都有一種習慣，為了解救深陷罪惡的人，自己深入其中去瞭解它。例如心理學家研究憤怒一樣。」 Continue reading →

［探索基礎科學系列講座］第十期

聽數學與生命對話

When Math meets Life!