巴斯卡三角形的應用Ⅱ(The Application of Pascal Triangle Ⅱ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

連結：巴斯卡三角形Ⅰ

摘要：本文介紹巴斯卡三角形的應用，首先是二項式定理，接著是質數性質，第三個應用是巴斯卡三角形與費氏數列的關係，第四個應用為曲棍球球棍模型，第五個應用為三角數關係，第六個應用為完全平方數關係，第七個應用為巴斯卡三角形與謝爾賓斯基三角形的關係，第八個應用為倒數巴斯卡三角形。 Continue reading →

三次方根與三角函數 (Cubic Roots and Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：解三次方程式用卡當公式，卡當公式需開複數的立方根，開複數立方根可用棣美弗定理，棣美弗定理又和三角函數脫不了關係，換言之即使低次如三次方程式也和三角函數密切相關，本篇文章就上述幾者的關係做個討論。

棣美弗定理與複數方根

棣美弗最有名的定理，就是高中課本裡的「棣美弗定理」：

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

※ 此公式棣美弗證明了 $$n$$ 為自然數時成立，1749年時尤拉則證明了 $$n$$ 為實數也成立。

在高中學習棣美弗定理最主要能幫助我們找複數的方根。 Continue reading →

恆寬曲線（Curve of Constant Width）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本篇文章從「恆寬曲線」談起，最後回到圓的定義，藉由恆寬與圓的差別體會圓的精妙。

何謂恆寬曲線

工程上稱某種曲線為「恆寬（constant width）曲線」：平面上一凸形封閉曲線，不論如何轉動，其寬度永遠不變，則稱之。所謂「寬度」是指平行線夾住某封閉曲線時，平行線間的距離即是。簡單說來，若以恆寬曲線作為輪子，並在其上放置板子，則乘客於上頭並不會顛簸；反之，若其非恆寬曲線，則當輪子轉動時板子間的寬度就改變了，乘客想必非常暈眩；舉例來說若用梯形當輪子，因為一轉動板子間的寬度就變了，所以梯形不是恆寬曲線。 Continue reading →

初等的機率論（10）推理統計學簡介
（Elementary Probability Theory-10. BriefIntroduction to Statistical Inference）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？

摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。

機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。 Continue reading →

初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？
（Elementary Probability Theory-9. What are Probability and Law of chance？）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質

摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law of large numbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’s law of small numbers）」、及「中央極限定理（central limit theorem）」。

機率論的兩個核心問題就是要問：

什麼是一個事件的機率（probability）？
什麼是機率法則（the laws of chance）？（甚至是，有沒有機率法則？）

要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D. Hilbert (1862-1943) 所說的一句名言：

這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。 Continue reading →

初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質
（Elementary Probability Theory-8. Random Variables and Its properties）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（7）獨立事件的概念

摘要：本文分別介紹「離散型」與「連續型」機率分佈（probability distribution）中幾個重要的分佈：「二項分佈（binomial distribution）」、「Poisson分佈」、「常態分佈（normal distribution）」，進而導出其期望值與變異數。並將「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」以機率的語言重述之。

一個隨機實驗做下來，就有初等機率空間 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$，這是精煉隨機實驗所得到的原始機率資料。然而，我們有興趣觀測的往往是某個變量 $$X$$，定義在 $$\Omega$$ 上的一個實值函數 $$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$。這就是隨機變數的概念，在統計學上又叫做統計變量。$$X$$ 將 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$ 上的機率資料，重新改訂成方便於使用的資訊。例如丟兩個骰子，我們要觀測「點數和」是多少。在每一賭局中，賭徒要觀察輸贏額。 Continue reading →

初等的機率論（7）獨立事件的概念
（Elementary Probability Theory -7. The Concept of Independent Events）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式

摘要：本篇從兩個事件「獨立」的概念談起，給出兩個事件及 $$n$$ 個事件獨立的定義，並與排列組合的「乘法原理」連結。最後以兩個反例說明三個事件獨立所需滿足的條件。

機率空間是測度空間的特例，因此有人說機率論是測度論一章。不過，機率論卻有獨特的獨立性（independence）概念，它扮演著關鍵性的角色，從而得到豐富而美麗的機率結果，這使得機率論有別於測度論。

獨立性是機率論的核心概念，探索機率法則（laws of chance）時，我們經常會遇到如下的狀況：將一個銅板獨立地丟 $$n$$ 次，或一個隨機實驗獨立地作 $$n$$ 次。機率法則包括大數法則、Poisson小數法則與中央極限定理，這些都是機率論的重要結果。 Continue reading →

初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式
（Elementary Probability Theory-6. Conditional Probability and Bayes Formula）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（5）有限機率空間

摘要：本篇介紹何謂「條件機率(conditional probability)」，從而導出「機率的乘法公式」、「全機率公式(the total probability formula)」、以及「Bayes公式」，並分別舉例闡述其內涵。

在機率論中，條件式的思考是非常重要的一種思考方法。本節我們只介紹較簡單的條件機率（conditional probability）之概念。事件 $$A$$ 的機率 $$P(A)$$ 是在 $$\Omega$$ 鐵定發生的條件下，描述 $$A$$ 發生的機率。現在作推廣，假設已經知道事件 $$B$$ 發生了，要問事件 $$A$$ 發生的機率。照理說此時可能會跟 $$P(A)$$ 不一樣。我們先觀察一個例子。

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