- 歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements） 2011/03/31
歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯設準與公理之別已經不見於今日數學，不過，釐清它們將可大大地幫助我們進入歐幾里得的幾何世界之中。
現代數學的公設主義源自古希臘歐幾里得的《幾何原本》。因此，吾人若有意體會數學公設系統之精神，那麼，好好地研讀這一本流傳僅次於《聖經》的經典作品，向歐幾里得大師學習，的確是不二法門。
《幾何原本》以下列五個設準（postulate）作為基礎：設定下面敘述成為準則：
- 從任何一點到任何一點可畫一直線。
- 且一條有限直線可以持續地延長。
- 且以任意點為圓心及任意距離可以畫圓。
- 且凡直角都相等。
- 且如果一條直線與另兩條直線相交，若同一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後(if produced indefinitely)，會在內角小於兩直角的那一側相交。
- 數學是什麼？（What is mathematics?） 2011/03/25
數學是什麼？（What is mathematics?）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯何謂數學？這個問題的答案隨著數學的發展歷程，而有了越來越豐富的說法。目前，數學家較有共識的答案是：數學是一種研究模式（pattern）的科學。
Continue reading →- 為什麼要用弧度制？ 2011/01/27
為什麼要用弧度制？(Why use radians?)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
課堂上每次教到弧度制，不管老師還是學生心底都會有股疙瘩感，\(360^\circ\) 的雲霄飛車硬要說它旋轉 \(2\pi\) 弧度（弧度兩字還經常被省略），任誰都會覺得拗口；曾經聽到有人認為：「在同一個圓內，圓心角張開的程度越大，其所對應到的弧長也越長，因此一個角所對應到的弧長，即可代表角的大小程度，所以我們可以沿用數學裡最基本的長度單位去表示角的大小，不需要另外發明新的單位。」當下有人認同有人反對，筆者倒是認為這個理由還挺有趣的；其實，許多人都曾經試圖為弧度制的存在辯駁，以下就提供各家道理供大家參考。 Continue reading →
- 從 y=2sin x．sin 20x 的圖形談起（The graph of y=2sin x．sin 20x） 2011/01/27
從 $$y=2{\sin}x\cdot\sin{20}x$$ 的圖形談起（The graph of $$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯以下先讓大家看一題教科書內有趣的習題：
許多美麗的波形都可由不同頻率的餘弦波疊合而成，
下圖的波形即為兩個頻率相差頗大的正弦波的乘積：$$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$，
若此波形可視為$$y=\cos(ax)-\cos(bx)$$，求正數對$$(a,b)$$。- 橢圓規（Ellipsograph） 2011/01/27
橢圓規（Ellipsograph）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師∕國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯利用簡單定義的橢圓規
圓規的原理是利用圓的定義「到定點（圓心）距離等於定值（半徑），在課堂上只需要一條無彈性的線加上教師的手固定圓心即可。想仿造圓規利用橢圓定義「到兩定點（焦點）距離和等於定值（長軸長）製造橢圓規，卻沒那麼容易：用兩隻手固定焦點後，還得生出第三隻手畫圖，就算真有神來一手（例如磁鐵）能同時固定兩個焦點，實際上畫圖時，線也會不斷卡住。有人腦筋動得快，線不固定在焦點，將定義引申為「到兩焦點距離和加上兩焦點距離等於定值」，便成了最簡易版橢圓規，如圖，只要隨時繃緊三線段，就能畫出橢圓。 Continue reading →
- 橢圓齒輪（Elliptical Gear） 2011/01/27
橢圓齒輪（Elliptical Gear）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯擁有無限多條對稱軸的「圓」堪稱是世界上最對稱的圖形了，所以在一般印象裡，我們熟悉的齒輪都是圓形。任兩個圓形齒輪隨意擺在一起，只要一開始它們是相切的，那麼只要以它們的圓心為軸旋轉，在旋轉的過程中它們仍然會保持相切。 Continue reading →
- 微積分初階－歷史發展的眼光（1）前言（First Course in Calculus－A Historical Approach 1. Introduction 2011/01/18
微積分初階－歷史發展的眼光（1）前言（First Course in Calculus－A Historical Approach 1. Introduction）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯數、函數、空間是數學研究的主要對象，分別發展出代數學、分析學與幾何學。函數（function）是微積分的主角。我們要對函數做微分並且做積分，然候作各種的應用，包括應用到數學本身以及大自然的變化與運動現象。 Continue reading →
- 微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題（First Course in Calculus－A Historical Approach 2.Four kinds of problems in Calculus 2011/01/17
微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題（First Course in Calculus－A Historical Approach 2.Four kinds of problems in Calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯問題是數學探索與思考的出發點。數學之發源於問題，就好像人類古文明之發源於大河旁一般，非常自然。提出問題，再尋求問題的解答（The art of problem posing and problem solving）乃是啟開智慧與思想的最佳法門。更確切地說，數學是人類在長期探索自然的過程中，不時地叩問自然乃至逼問自然，所創造發展出來的產物。 Continue reading →
