餘弦定理(Law of cosine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

餘弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，則恆有性質

\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos{B}\)，此稱餘弦定理。
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) Continue reading →

三角測量及其相關歷史（trigonometric measurement and its history）
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

一般而言，處理三角測量的問題 (對現行教材而言 )，是先將題目讀懂，轉化為數學，然後再透過解三角形的方式求得答案。不過學生遇到的，常是在設計好測量方式情境下，所處理的問題。其實，若在講解時可以從測量問題的原始狀況出發會別有一番風趣。在眾多版本中，康熙這部分的寫法最符合個原則值得參考。 在底下將一些想法整理如下，供大家參考討論。 Continue reading →

對數的誕生(Birth of Logarithms)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

對數單元的教學安排，一直是老師教學上的一大挑戰。在擁有便利的輔助工具之後，學生很難能耐著性子處理那些龐雜的數字計算(尤其是那種為考試而設計的問題)。事實上，對數發展時的那種數字處理的需求，已經從每個人的經驗中消失，教學上也難以再現。

現行「對數」的定義是十八世紀數學家歐拉(Léonhard Euler, 1707-1783)所給的：「給定一個正數當作底數，則一個數的對數，就是這個底數的次方與這個數相等時的指數/指標(index)。以現在的數學符號表示，就是 $$a^x=b\Longleftrightarrow{x}=\log_ab$$。 Continue reading →

指數函數（Exponential function）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

當自變數 $$x$$ 放置在指數，而底數為某一正數 $$a$$ 時，所形成的函數就稱為指數函數；即

$$f(x)=a^x~(x\in{R})$$。

而有了實數指數律性質，就可以將指數函數圖形描繪出來。一般而言，只要給定一正數 $$a$$，我們就可以透過電腦將其圖形繪出。例如下圖（一），我們利用電腦軟體描繪出 $$f(x)=a^x~(a>1)$$ 和 $$g(x)=a^x~(0<a<1)$$ 的圖形。我們可以觀察出指數函數圖形的一些數學特性： Continue reading →

指數律（Exponential law）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一個實數 $$a$$ 自乘 $$n$$次後的乘積($$n$$ 是自然數)，該如何用精簡的數學符號語言來表示呢？你是否能想得到像笛卡兒（René Descartes）在十七世紀時所用方法，即在數字或文字的右上方用小拉伯數字來表示次方的概念呢？也就說將 $$a$$ 自乘 $$n$$ 次或者說有 $$n$$ 個 $$a$$ 自乘，以 $$a^n$$ 來表示，其中 $$a$$ 稱為底數，$$n$$ 稱為指數。 Continue reading →

科學記號、首數與尾數 (Scientific notation, characteristic and mantissa)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

如果一個數寫成 \(288000000\) 似乎不怎麼方便，但如果寫成 \(2.88\times{10}^8\) 就方便多了，而 \(2.88\times{10}^8\) 這種表示方式便稱為科學記號表示法。所謂科學記號表示法，即一個數 \(k\) 可以表示成 \(k=a\times{10}^n\)，其中 \(1\leq|a|<10\)，\(n\) 為整數。 Continue reading →

換底公式 (Formula of the change of base)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

你或許會懷疑，為什麼對數表只有以 \(10\) 為底，那其他的呢？想當然如果每個底數都要一個對數表，那應該就會有一本厚厚的對數表專書供查詢，而非像高中課本對數表只有兩頁就夠用了。既然如此，那非 \(10\) 為底的對數值，要如何透過查表去運算呢？如過你問你自己，應該會想到，得弄個公式來轉換才行，讓這個非 \(10\) 為底的對數值，可以運算出和 \(10\) 為底對數值有相關？而這個公式名稱就叫做換底公式。 Continue reading →

對數函數（Logarithmic function）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

當自變數 $$x$$ 被放置在以 $$a$$ 為底的對數所表示出來的函數，我們便函這個函數為以 $$a$$ 為底的對數函數，數學符號就以 $$y=\log_ax$$ 表示之，其中，$$a$$ 是大於零且不等於 $$1$$ 的正實數，$$x$$ 是大於零的正實數。

$$y=\log_ax$$ 等價於 $$x=a^y$$，所以你就可以發現他和指數函數 $$y=a^x$$ 中，$$x$$ 和 $$y$$ 的角色已經對調了。也正因如此，在指數函數考慮底數 $$0<a<1$$ 和 $$a>1$$ 圖形會有不同性質的呈現，那對數函數將底數 $$a$$ 作相同考量時，是否也會有類似情況呢？ Continue reading →