阿爾•卡西與圓周率(Jamshīd al-Kāshī and the measurement of π)
臺北市立成功高中陳彥宏老師

一、前言

圓周率 $$\pi$$ 的估算，一直是人類深感興趣的題材。從數千年前開始，數學家便設法要去計算 $$\pi$$ 值的大小。直到西元前三世紀，希臘科學家阿基米德 (Archimedes，西元前287－前212) 首度利用科學的方法計算 $$\pi$$ 的近似值，歷史上一連串計算圓周率 $$\pi$$ 的旅程便就此展開。在這漫長的旅途上，有一位不容忽視的伊斯蘭數學家－阿爾‧卡西 (Jamshīd al-Kāshī，?－1429)，他所求得的 $$\pi$$ 的近似值能夠精確到小數點以下第十六位！本文將簡單介紹阿爾‧卡西計算 $$\pi$$ 所使用的方法，希望讀者能夠對這位阿拉伯的計算奇才有初步的認識。

二、生平

現今對於阿爾‧卡西最早的紀錄是在1406年，由其著作中得知，當時他開始在家鄉卡撒 (Kāshān，在今伊朗德黑蘭南方200公里) 進行一系列的月蝕觀測活動，在此之前，我們對他則一無所知。早期阿爾‧卡西的生活過得並不富裕，以致到處流浪兼職來謀生，直到1418年，他才在撒馬爾干 (Samarkand，在今烏茲別克境內) 的一所學校內謀得職位，這所學校正是由他一生中最大的資助者Sultan Ulūgh Beg創辦。同一時間，阿爾‧卡西開始對於數學有極重大的貢獻，1424年，他逼近圓周率 $$\pi$$ 的近似值精確至小數點以下第十六位，1427年他撰寫了關於算術、代數及測量的作品《算數者之鑰》(The Calculators’ Key)，書中對於十進位記數系統、數的開高次方根及求解代數問題皆有詳細論述。此外，阿爾‧卡西還利用求解三次方程式得到正弦函數 $$\sin 1^\circ$$ 的近似值，而這也是他在1429年過世前的最後作品。
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用向量來看圓系(Use Vectors to Understand Family of Circles)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在圓與直線的章節中，常有這樣的難題：

過兩圓 \(C_1:x^2+y^2+4x-6y-12=0\) 與 \(C_2: x^2+y^2-2x+2y-18=0\)

的交點，求圓心在 \(x+y+1=0\) 上的圓方程式。

一種可能的作法是先找出 \(C_1\) 與 \(C_2\) 的交點，再設法求所找之圓的圓心坐標及半徑，解法如下：

首先，解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12 = 0 \cdots \cdots (1)\\ {x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18 = 0 \cdots \cdots (2)\end{array} \right.\)

由 \((1)(2)\) 可得，過兩圓交點的直線為 \(\displaystyle{3x} – 4y + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{4y – 3}}{3}\)，

代入 \((2)\) 式，得

\({(\frac{{4y – 3}}{3})^2} + {y^2} – 2(\frac{{4y – 3}}{3}) + 2y – 18 = 0\)

\(\Rightarrow 5{y^2} – 6y – 27 = 0 \Rightarrow y = 3\) 或 \(y=-\frac{9}{5}\)

當 \(y=3\) 時，則 \(x=3\)；當 \(y=-\frac{9}{5}\)，則 \(x=-\frac{17}{5}\)

因此，交點坐標為 \(A(3,3)\) 及 \(B(-\frac{17}{5},-\frac{9}{5})\)，且弦 \(\overline{AB}\) 的中點為 \((-\frac{1}{5},\frac{3}{5})\)

\(\therefore\) 弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線方程式為 \(4x+3y-1=0\)

而所求之圓的圓心為 \(x+y+1=0\) 及弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線之交點，

解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y – 1 = 0\\ x + y + 1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = – 5 \end{array} \right.\)，

所求之圓的圓心為 \(O(4,-5)\)，半徑 \(r=\overline{OA}=\sqrt{65}\)

因此，所求之圓的方程式為 \((x-4)^2+(y+5)^2=65\)

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從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在高中課程的三角函數單元提及了許多三角公式，像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事實上，這些三角公式(主要是正弦和餘弦函數)都是托勒密（C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.）在發展弦表的過程中，提出的一系列命題(有興趣的讀者可參見《The Almagest》一書)。

從課程的安排上，不難發現和角與差角公式處於非常基礎的地位，這個現象在托勒密提出的脈絡中也是相符。然而，托勒密如何發現和角公式？若要讀者好奇地往前追溯，將會驚奇地發現和角公式和托勒密定理有著密切的關係。因此，從托勒密定理出發，也是介紹和角公式一個很好的切入點。 Continue reading →

點到直線的距離公式 (The Formula of the distance from a point to a line)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

99課綱中將圓與直線的單元放在平面向量之前，進而討論圓與直線的關係時，特別強調運用圓與直線的聯立方程式之解的形態(相等實根、兩相異實根，及沒有實根) 的「代數判定」方法。儘管此法的使用具有一般性，但計算通常較為繁雜。因此，老師通常還會介紹點到直線的距離公式，利用圓心與直線的距離來判斷兩者的關係。

然而，此距離公式的介紹常借助向量方法進行證明，使得許多老師倡議將圓與直線與平面向量兩個單元互換。不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。本文中提出幾個在99課綱中無須調動次序，也可達到證明點到直線的距離公式之目標的證法。 Continue reading →

正弦定律 (The Sine Law)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在現行高中課程中，對於正弦定律的推導常是透過三角形面積公式為媒介：

如圖一，給定三角形 \(\Delta ABC\) ，則三角形 \(\Delta ABC\) 的面積為

\(\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\)

因此，\(\displaystyle\frac{{\sin C}}{c} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin A}}{a} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

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輾轉相除法(IV) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(III)

一、五猴分桃問題：

五隻猴子分一堆桃子，怎麼分也不能均分成五份，大家約定先去睡覺，明天再說。夜裡，猴甲偷偷起來，吃掉一個，這時發現其餘正好可以分成五份，結果猴甲把自己那份藏起來，又躺去睡覺了；接著猴乙也偷偷起來，吃掉一個，發現其餘也正好可以分成五份，結果猴乙也把自己那份藏起來；猴丙，猴丁，都如法炮製。而猴戊吃掉一個後，也發現餘桃數為 $$5$$ 的倍數。問總桃數最少有幾個？

參考解法：

假設總桃數為 $$x$$，而 $$y$$ 為某個正整數。

因為 $$\displaystyle\frac{1}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left( {x – 1} \right) – 1} \right] – 1} \right] – 1} \right] – 1} \right] = y$$

整理方程式得：$$256x-3125y=2101$$ (此即為不定方程式)，

利用歐幾里得的想法，我們先考慮 $$256x+3125y=1$$

$$\begin{array}{rl} 3125 &=12 \times 256+53\\256&=4\times 53+44\\53&=1\times 44+9\\44&=4\times 9+8\\9&=1\times 8+1\end{array}$$

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輾轉相除法(III) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(II)

一、輾轉相除法與連分數

首先讓我們來練習一下輾轉相除法，求 $$(42897, 18644)=\underline{~~~~~~~~~~~~~~~}$$。
（1）橫式過程：

$$42897=2\times 18644+5609$$
$$18644=3\times 5609+1817$$
$$5609=3\times 1817+158$$
$$1817=11\times 158+79$$
$$158=2\times 79+0$$

$$\therefore \left( {42897,18644} \right) = \left( {18644,5609} \right) = \left( {5609,1817} \right) = \left( {1817,158} \right) = \left( {158,79} \right) = \left( {79,0} \right) = 79$$

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