數學之旅：三角形面積公式(Ⅳ) (Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)
國立蘭陽女中 陳敏晧教師

連結：數學之旅：三角形面積公式(III)

當數學旅程來到空間時，我們首先需要空間向量的外積(cross product)：兩空間向量 \(\vec{a} = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right),\vec{b} = \left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) 的外積定義為

\(\begin{array}{ll}\vec{n} &= \vec{a} \times \vec{b} = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}}&{{z_1}}\\ {{y_2}}&{{z_2}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}}&{{x_1}}\\ {{z_2}}&{{x_2}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}} \end{array}} \right|} \right) \\&= \left( {{y_1}{z_2} – {y_2}{z_1},{x_2}{z_1} – {x_1}{z_2},{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}} \right)\end{array}\)

外積有三個性質： Continue reading →

數學之旅：三角形面積公式(III)
(Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

連結：數學之旅：三角形面積公式(II) 

當數學旅程來到向量(vector)，我們想要了解如何從向量幾何觀點來導出三角形面積公式，

亦即當 \(A(x_1,~y_1),B(x_2,~y_2),C(x_3,~y_3),\) 時，

首先我們定義向量 \(\vec{AB}=B-A=(x_2,~y_2)-(x_1,~y_1)=(x_2-x_1,~y_2-y_1)\)，

並且定義 \(|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\overline{AB}\) 的長度， Continue reading →

算幾不等式的應用(3)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億

連結： 算幾不等式的應用(2)

算幾不等式除了常見於前文所提及的兩種型式之外，還可用於變數變換法中決定新變數的範圍。

例如「已知 \(x>0\)，求 \(\displaystyle{f(x)}=-{(x+\frac{1}{x})^2}+2(x+\frac{1}{x}) + 3\) 之最大值。」 Continue reading →

算幾不等式的應用(2)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億

連結： 算幾不等式的應用(1)

算幾不等式第二種應用類型依然與求最大或最小值有關，只是不再依附於幾何圖形，而是抽象的代數關係。例如翰林版課本《普通高級中學數學1》中的隨堂練習就給了「兩正數 \(a\)、\(b\)，若 \(a+b=18\)，試求 \(ab\) 的最大值。」一旦應用的範疇脫離了幾何意義之後，那就可以在抽象的關係上做出許多的變化，解題時就需要用到其他的關係或工具，因而困難度也就大幅提高。這類變化的題目，因為解法十分多樣，所以就成了各種數學競賽中常見的題目。以下僅舉出幾例說明。 Continue reading →

算幾不等式的應用(1)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億

本網站的文章中，屏東高中楊瓊茹老師的〈算幾不等式〉與蘭陽女中陳敏晧老師的〈算幾不等式的證明(Ⅰ)〉、〈算幾不等式的證明(Ⅱ)〉已詳細說明了何謂算幾不等式，並給出了多種證明。本文將舉幾例說明算幾不等式在高中數學中的應用，並提醒讀者在應用算幾不等式時常犯的錯誤。 Continue reading →

統計之旅：標準差公式 (II)
(Statistical Journey through the Formulas of Standard Deviation (II))
國立蘭陽女中教師 陳敏晧

連結：統計之旅：標準差公式 (I)

在上一篇﹤統計之旅：標準差公式(Ⅰ) ﹥的文章中，我們已經討論過標準差公式 \({\sigma _x} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} – {\mu _x}} \right)}^2}} }\) 的由來，本文將進一步討論標準差的應用及另一個標準差公式，在101學年度全國公私立高級中學數學學科能力測驗第二次聯合模擬考試多選題第12題，該題的解法充分表現出標準差的意涵：即資料越分散，標準差越大；資料越集中，標準差越小。 Continue reading →

統計之旅：標準差公式 (I)
(Statistical Journey through the Formulas of Standard Deviation (I))
國立蘭陽女中教師 陳敏晧

一維的數值資料 \(x_1,x_2,…,x_n\)，

我們定義其標準差(standard deviation) 為 \({\sigma _x} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}-{\mu _x}}\right)}^2}}}\)，

其中 \(\sigma_x\) 讀為sigma x，而算術平均數 \(\mu_x\) 讀為mu x。

因此，從定義中可以理解標準差就是一維數值資料的離均差平方和的算術平均數再求其正平方根的值，其中的離均差為 \(\left| {{x_i} – {\mu _x}} \right|\)。 Continue reading →

[影音] CASE電影講座：不玩模仿遊戲，真心認識圖靈

◕ 時間：104年4月25日（六）19:00-21:00

◕ 地點：國立臺灣大學思亮館國際會議廳

◕ 講者：李國偉 （中央研究院數學研究所研究員）

雖然看完了《模仿遊戲》，一般觀眾仍然不能深刻體會Alan Turing對於人類最大的貢獻在哪裡，但隨著這部電影的熱映，Turing這位數學­家開始廣為人知。我們邀請到早在1999年即曾撰文介紹Turing的中研院數學研究­所李國偉老師來為大家剖析電影和史實的差異，以及這位傳奇人物對科學的貢獻。 Continue reading →