巴斯卡其人其事(II)（The biography of Blaise Pascal, part 2）
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

連結：巴斯卡其人其事(I)（The biography of Blaise Pascal, part 1）

1652年前後，法國貴族安東尼‧哥保德‧迪‧默勒爵士（Antoine Gombaud, Chevalier de Méré , 1607 – 1684）寫信給巴斯卡，提出了兩個問題：

1. 骰子問題（Problem of Dice）：兩枚骰子要擲多少次才能使出現兩個6點的機率不小於50%?
2. 點數問題（Problem of Points）：在賭博被打斷時如何公正地分配賭注。

巴斯卡除了自己研究解決方法之外，還寫信和費馬（Pierre de Fermat, 1601 – 1665）交流解法，在1654年他寫給費馬的一封信中寫道：

我和您的急切心情是一樣的，雖然還臥病在床，但抑制不住要告訴您，我昨天晚上從卡爾卡維手裡接到您關於點數問題的來信，我簡直不知道用什麼語言稱讚這封信。…
您的方法是正確的，而且是我所知道的這類問題研究中的首次正確答案。但由於在組合方面會遇到過多的麻煩，我找到另外一種更加簡潔的方法，…

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巴斯卡其人其事(I)（The biography of Blaise Pascal, part 1）
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

布萊思‧巴斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662），出生於法國克萊蒙費朗（Clermont-Ferrand），對數學、物理、神學宗教都有深入的研究與貢獻。他三歲喪母，是家中的獨子，八歲時舉家搬到巴黎。他的父親對教育擁有與眾不同的觀點，決定親自教養他的小孩，並且為了避免影響到布萊思對拉丁文與希臘文的學習，在他15歲前禁止他學習數學並收起布萊思身邊所有與數學相關的著作。然而，這個從小天資聰穎的小孩，在他12歲時，居然獨自發現了三角形內角和等於二個直角的性質，於是他父親給了他著名的幾何學聖經《幾何原本（The Elements）》，決定讓他學習歐基里得的幾何學。

14歲時，他陪著父親開始參加梅森神父（M. Mersenne）的聚會。在17世紀的前半，梅森神父是當時世界的科學與數學集散中心，因此小巴斯卡得以在聚會中認識許多科學界與數學界的大咖級人物，包括在射影幾何上影響他甚深的狄沙格（Girard Desargues, 1591–1661）、笛卡兒（René Descartes, 1596 – 1650）以及法蘭西學院的數學教授羅伯沃（Gilles Personne de Roberval, 1602 – 1675）。16歲時巴斯卡在狄沙格思想的影響下，認真創作了一份有關圓錐曲線的論文，裡頭包含了許多射影幾何的定理，還包括了著名的巴斯卡神秘六邊形，那是一個六邊形內接在圓錐內，它的各組對邊的交點共線。巴斯卡這份作品已相當具有成熟度，以致於笛卡兒看到這份手稿後拒絕相信它出自於一個16歲的少年之手。 Continue reading →

七二法則－複利估算（The Rule of 72）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

無論在生活中或者進行生涯規劃、投資理財時，往往會遇到涉及利率、投資工具的平均酬率或者成長率等相關問題，又或者有關營收成長、經濟成長率等公司國家大事，在在離不開數學中的複利問題。也許你會好奇，在固定利率（成長率）之下，若希望本金、營收翻倍，又或者主政者希望GDP (Gross Domestic Product，國內生產毛額)翻倍，那需要多少年的時間呢？從另一個方向考慮，若希望在固定年限內（例如10年）本金能翻倍，那麼需要平均年成長率多少的投資工具或複利效果才能達成此目標呢？ Continue reading →

七二法則的應用與說明（The application and explanation of the Rule of 72）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

七二法則

設本金為 \(M\)、若以複利計算，已知利率（成長率）為 \(r\%\)，則期數 \(n\)（\(n\) 為自然數）滿足 \(n\cdot r=72\) 時，本金約會翻倍，即本利和約成長為 \(2M\)。

上述七二法則在生活中相當實用，可幫助我們在固定利率（成長率）的條件下，快速地估算出翻倍所需的期數，又或者在固定的期數限制下，估算出翻倍所需的利率（成長率）。以下舉若干相關例子說明，最後利用二項式定理概略地說明為何此法則成立。

一般而言，總體經濟學中以實質國內生產毛額（GDP）變動率來表示經濟成長速度，也就是經濟成長率（Economic growth rate）。例如當希望8年內實質國內生產毛額（GDP）接近翻倍，那麼光是平均年成長率5%-6%恐怕是不夠的，以七二法則估算，約需要9%的年平均成長率才得以達成，然而這樣強勁的成長一般較常見於新興、開發中國家，然對於接近已開發國家或已開發國家並不易見，更遑論多年下來的「年平均成長率」要達9%。依據國際貨幣基金（IMF）所作的統計，2013年全球經濟成長率為2.9%，而亞洲區域的台灣2.2%、香港3%、韓國2.8%、新加坡3.5%、中國7.6%。即便2012年，亞洲主要國家的經濟成長率也僅中國的7.9%以及印尼的6.1%超過6%。 Continue reading →

半角公式(Half-Angle Formulas)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

一般說來，半角公式的推導常是透過倍角公式。由於

\(\cos 2\alpha= {\cos ^2}\alpha- {\sin ^2}\alpha= 2{\cos ^2}\alpha-1=1-2{\sin^2}\alpha\)

因此，

\({\sin^2}\alpha=\frac{{1 – \cos 2\alpha}}{2},{\cos^2}\alpha=\frac{{1+\cos 2\alpha}}{2}\)

令 \(\theta=2\alpha\Rightarrow \alpha=\frac{\theta}{2}\) 代入，即得

\(\sin \frac{\theta }{2} =\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos\theta}}{2}} ,\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{{1 + \cos \theta}}{2}} \)

其中 \(\pm\) 依 \(\frac{\theta}{2}\) 所在的象限決定。至於倍角公式，則是由和角公式推得。
換言之，公式推導的順序是和角公式→倍角公式→半角公式。

然而，當我們檢視托勒密天文學集大成的著作《The Almagest》，他在為製作弦表所提出的一系列命題中，半角公式竟然比和角公式還要更早提出！ Continue reading →

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接著我們來看些可用「平面族」解決的問題吧！事實上，空間中的直線方程式可表成兩面式，因此，在求與直線條件有關的平面方程式問題上，「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子：

求包含$$x$$軸，且過點$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$軸上取一點$$B(1,0,0)$$，且$$x$$軸的方向向量為$$\vec{v}=(1,0,0)$$，

由於所求平面包含$$x$$軸，並過$$A(1,-1,2)$$，

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$，故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此，平面方程式為 $$2y+z=0$$

(解法二)
由於$$x$$軸的直線方程式可寫成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (兩面式)，

根據平面族定理，包含$$x$$軸的任意平面可以寫成$$y+kz=0$$，

將$$(1,-1,2)$$代入，得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以，平面方程式為 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

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用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：

【証明】整個定理的証明可分為三部份：

1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。 Continue reading →

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：

求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。

基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：

兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)， 
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)

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